湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课堂检测

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课堂检测，共13页。试卷主要包含了椭圆有这样的光学性质等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆锥曲线在天体运动轨道中的应用
1.如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则下列结论中正确的为( )
①轨道Ⅱ的焦距为R-r;
②若R不变,则r越大,轨道Ⅱ的短轴长越小;
③轨道Ⅱ的长轴长为R+r;
④若r不变,则R越大,轨道Ⅱ的离心率越大.
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
2.(多选)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图所示,卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的是( )
A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c]
B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小
题组二 圆锥曲线在斜抛物体轨迹中的应用
3.(2021湖南长沙铁路一中月考)某农场为节水推行喷灌技术,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状,如图所示.现要求水流最高点B离地面4 m,点B到管柱OA所在直线的距离为3 m,且水流落在地面上的以O为圆心,7 m为半径的圆上,则管柱OA的高度为( )
A.53 m B.74 m C.94 m D.73 m
4.张燕同学在校运会的掷铅球比赛中创造佳绩.已知张燕所掷铅球的轨迹可看成一段抛物线(人的身高不计,铅球看成一个质点),如图所示,设初速度的大小为v0 m/s,且其与水平方向所成的角为θ,已知张燕掷铅球的最远距离为10 m.当她掷得最远距离时,铅球轨迹(抛物线)的焦点到准线的距离为 m.(空气阻力忽略不计,重力加速度为10 m/s2)
题组三 圆锥曲线在光学中的应用
5.(2022黑龙江大庆期末)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A14,1,平行于对称轴的光线经过点A反射后,反射光线交抛物线于点B,则线段AB的中点到准线的距离为( )
A.254 B.258 C.174 D.2
(2022湖南湖湘教育协作体期中)双曲线有如下光学性质:如图,从双曲线上焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过下焦点F1.某双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),F1,F2为其下、上焦点,若从下焦点F1发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(点A、F1、B三点共线),反射光线分别为AD,BC,且满足∠ABC=90°,tan∠BAD=-512,则该双曲线的离心率e为( )
A.10 B.102 C.29 D.293
7.(2021湖南娄底月考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C的方程为x24+y23=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=32,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆的长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|= .
题组四 圆锥曲线在现代建筑中的应用
8.(2021山东淄博模拟)某市为庆祝建党100周年,举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个隧道,隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成,尺寸如图1(单位:m).
(1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程;
(2)若车队空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,箱宽3 m,车与集装箱总高4.5 m,此车能否安全通过隧道?请说明理由.
图1 图2
9.(2021上海西南位育中学期末)如图,平面上P,Q两地间的距离为4,O为PQ的中点,M处为一基站,设其发射的电波为直线,测量得∠MOQ=60°,且O,M间的距离为23,现一机器人N正在运行,它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P,O,M,N及电波直线均共面),请建立适当的平面直角坐标系.
(1)求出机器人N运行的轨迹方程;
(2)为了使机器人N免受M处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M的直线),求出电波所在直线斜率k的取值范围.
10.(2021湖南永州二模)某城市决定在夹角为30°的两条道路EB,EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,如图所示,|AB|=2,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且直线MN的倾斜角为45°,交OD于G.
(1)若|OE|=3,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;
(2)若椭圆的离心率为32,当线段OG长为何值时,游乐区域△OMN的面积最大?
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C ①由椭圆的性质知a+c=R,a-c=r,得2c=R-r,故正确;②由①知a=R+r2,c=R-r2,所以2b=2a2-c2=2(R+r)24-(R-r)24=2Rr,若R不变,则r越大,2b越大,即轨道Ⅱ的短轴长越大,故错误;③由①知2a=R+r,故轨道Ⅱ的长轴长为R+r,故正确;④因为椭圆的离心率e=ca=R-r2R+r2=R-rR+r=1-2rR+r=1-2Rr+1,若r不变,则R越大,2Rr+1越小,所以e越大,即轨道Ⅱ的离心率越大,故正确.故选C.
2.AD 由题意可得,卫星的向径是椭圆上的点到焦点的距离,所以最小值为a-c,最大值为a+c,A正确.根据在相同时间内扫过的面积相等,知卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故B不正确.卫星向径的最小值与最大值的比值越小,即a-ca+c=1-e1+e=-1+21+e越小,则e越大,椭圆越扁,故C不正确.因为运行速度是变化的,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,故D正确.故选AD.
3.B 如图所示,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),易得点C(4,-4),所以16=-2p×(-4),解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y,设点A(-3,y0),因为点A在抛物线上,所以9=-4y0,解得y0=-94,所以|OA|=4-94=74,所以管柱OA的高度为74 m.故选B.
4.答案 5
解析 设铅球的运动时间为t0 s,t时刻铅球在水平方向上的位移大小为x m,则x=v0tcs θ,由v0sin θ-12gt0=0知,t0=2v0sinθg,∴t0时刻,x=v02sin2θg,故当x=π4时,xmax=v0210=10,∴v0=10,∴t0=2,∴最高点到地面的距离h=12gt022=2.5(m).
如图,建立平面直角坐标系,易得P(-5,-2.5),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则抛物线的焦点到准线的距离为p=x2-2y=(-5)22×2.5=5(m).
5.B 设抛物线的方程为y2=mx(m>0),将A的坐标代入可得12=14m,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得,反射光线过焦点(1,0),所以直线AB的方程为y-0=1-014-1(x-1),整理可得y=-43(x-1),联立y=-43(x-1),y2=4x,整理可得y2+3y-4=0,解得y1=-4,y2=1,代入直线方程可得x1=4,x2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点为A14,1,B(4,-4),所以线段AB的中点坐标为178,-32,所以线段AB的中点到准线的距离d=178+1=258,故选B.
6.D 连接AF2,BF2,设|BF2|=n,由tan∠BAD=-512,得sin∠BAD=513,即sin∠BAF2=513,在Rt△ABF2中,可得|AF2|=135n,|AB|=125n,由双曲线的定义知|AF1|=135n-2a,∴|BF1|=125n-135n-2a=2a-15n,又|BF2|-|BF1|=n-2a-15n=2a,∴n=103a,在Rt△BF1F2中,|BF2|=103a,|BF1|=43a,|F1F2|=2c,∴103a2+43a2=(2c)2,即c2a2=299,可得e=293,故选D.
7.答案 3∶5
解析 如图,由椭圆的光学性质得直线l'平分∠F1PF2,所以|F1M||F2M|=|PF1||PF2|,由|PF1|=32,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=52,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
8.解析 (1)设抛物线的方程为y=ax2(a<0),
因为抛物线的顶点为坐标原点,隧道宽6 m,高5 m,矩形的高为2 m,所以抛物线过点A1(-3,-3),
将其代入抛物线方程,得-3=9a,解得a=-13,
所以该段抛物线A1OA所在抛物线的方程为y=-13x2,即x2=-3y.
(2)不能.理由如下:
如果此车能通过隧道,那么集装箱处于对称位置,
将x=1.5代入抛物线的方程,得到y=-0.75,
此时集装箱最上方距离隧道的底5-0.75=4.25(m),又4.25 m<4.5 m,所以此车不能安全通过此隧道.
9.解析 (1)如图所示,以点O为坐标原点,PQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则P(-2,0),Q(2,0),
设点N(x,y),则|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4,
所以动点N的运动轨迹是以点P,Q为焦点的双曲线的右支,
由题得a=1,c=2,
所以b2=4-1=3,
所以机器人N运行的轨迹方程为x2-y23=1(x>0).
(2)由题得,点M的坐标为(3,3),
则电波所在直线的方程为y-3=k(x-3),即y=k(x-3)+3,与x2-y23=1(x>0)联立,消去y,得(3-k2)x2+(23k2-6k)x+63k-3k2-12=0.
当3-k2=0时,若k=3,则电波所在直线为y=3x,是双曲线的渐近线,符合题意;若k=-3,则电波所在直线为y=-3x+6,与机器人N的轨迹有交点,不符合题意.
当3-k2≠0时,由Δ<0,得(23k2-6k)2-4(3-k2)·(63k-3k2-12)<0,所以(k-3)(k-23)<0,
所以3综上所述,3≤k<23,即电波所在直线斜率k的取值范围是[3,23).
10.解析 (1)以点O为坐标原点,OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
因为|OE|=3,所以E(0,3),
又EB,EF的夹角为30°,所以直线EF的方程为y=-3x+3.
又因为|AB|=2,所以b=1,则椭圆方程为x2a2+y2=1.
为了不破坏道路EF,则直线EF与半椭圆至多有一个交点,
联立x2a2+y2=1,y=-3x+3,
整理,得(1+3a2)x2-63a2x+8a2=0,
则Δ=108a4-4(1+3a2)·8a2≤0,即a2(3a2-8)≤0,又a>0,所以0当a=263时,半椭圆与EF相切,所以amax=263.
(2)设椭圆的焦距为2c,
由椭圆的离心率为ca=32,b=1,a2=b2+c2,得a2=4,所以椭圆的方程为x24+y2=1(x≥0).
设G(m,0),又直线MN的倾斜角为45°,且交OD于G,
所以直线MN的方程为x=y+m(0由x24+y2=1,x=y+m,得5y2+2my+m2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-25m,y1y2=m2-45,
则|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4m225-4m2-165=45-m25,
则S△OMN=12×|OG|×|y1-y2|=12m×45-m25
=2m2(5-m2)5≤1,当且仅当m=102时等号成立,此时△OMN的面积最大.
故当线段OG长为102时,游乐区域△OMN的面积最大.