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湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程巩固练习
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这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程巩固练习，共24页。
易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件致错
1.已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( )
A.x220-y236=1(x≠0)
B.x236+y220=1(x≠0)
C.x220+y236=1(x≠0)
D.x236-y220=1(x≠0)
2.设椭圆E的方程为x22+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A,B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆.圆心C的轨迹方程为 .
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清致错
3.若动圆与圆x2+y2=1和圆x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.双曲线的一支 B.圆
C.抛物线 D.双曲线
4.设P(x,y),若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8,则点P的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1 B.x24+y216=1
C.x24-y28=1 D.x28-y24=1
易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的特征致错
5.(2020山东临沂期末)直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,3)∪(3,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞)
D.(1,+∞)
6.(2021甘肃兰州月考)若抛物线x=ay2的准线方程为x=1,则实数a的值为 .
7.已知m2=4,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率为 .
易错点4 忽视椭圆、双曲线、抛物线的焦点位置致错
8.(2021吉林长春外国语学校月考)若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为( )
A.1 B.4 C.1或7 D.4或6
9.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 .
易错点5 忽视判别式对参数的限制致错
10.(2022陕西金台期末)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个交点,则符合条件的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.已知点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x4+y2=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.
易错点6 忽视直线斜率不存在的情况致错
12.如图,O是坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=12,点M3,-32,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于另一点Q,R是PF2的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,试求S的最大值.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.(2022山东潍坊期末)已知F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线,交外角的平分线于点Q,则Q与短轴端点间的最小距离为( )
A.1 B.2
C.4 D.5
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
2.(2022河南信阳开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距|F1F2|=25,过点T(35,0)的直线与椭圆交于P,Q两点,若TP=2TQ,且PF1⊥PF2,则椭圆C的方程为( )
A.x29+y24=1 B.x28+y23=1
C.x27+y22=1 D.x26+y2=1
3.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
4.(2022湖南宁乡一中月考)已知P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标为(2,3),则|PA|+|PM|的最小值是 .
5.(2022湖北武汉模拟)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点m3,m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,请说明理由.
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
6.已知对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )
A.y2=16x B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y D.y2=16x或x2=8y
7.(2022上海复兴高级中学期中)若曲线|y|=x+2与曲线C:x24λ+y24=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1]
C.(-∞,-1]∪(1,+∞)
D.[-1,0)∪(1,+∞)
8.(2021北京首都师范大学附中期中)已知椭圆C:x2a2+y2=1(其中a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F且与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的长轴长和离心率;
(2)求△AOB的面积的最大值;
(3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C 由题意可知|AC|+|AB|=20-8=12>|BC|=8,则点A的轨迹是焦点在y轴且中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,此时2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为x220+y236=1(x≠0),故选C.
易错警示
求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
2.答案 y=-12x-233解析 设动直线l的方程为y=x+t,联立x22+y2=1,y=x+t,消去y,得3x2+4tx+2t2-2=0,
则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-3设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,则C-2t3,t3,∴圆心C的轨迹方程为y=-12x-233易错警示
在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,注意判别式的取值范围.本题若忽略-33.A 设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与圆x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和圆O2,易得圆O1和圆O2的半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支.
易错警示
双曲线的定义中含有“绝对值”,当得出动点到两定点距离之差为常数时,考虑其轨迹只是双曲线的一支,解题时防止忽视定义的形式导致答案错误.
4.B 不妨设F1(0,23),F2(0,-23),由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,23),F2(0,-23)的距离之和为定值8,并且8>43=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=43,所以a=4,c=23,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为x24+y216=1,故选B.
5.C 联立y=x+2,3x2+my2=3m,
消去y,得(3+m)x2+4mx+m=0,
所以Δ=16m2-4m(m+3)>0,所以m>1或m<0,
又在椭圆x2m+y23=1中,m>0,且m≠3,
所以m>1且m≠3,故选C.
易错警示
在椭圆方程x2m+y23=1中,参数m的取值范围是m>0,且m≠3,解题时防止遗漏导致解题错误.
6.答案 -14
解析 抛物线方程可化为y2=1ax,因为其准线方程为x=1,所以-14a=1,解得a=-14.
易错警示
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时,应先把抛物线的方程化为标准形式,即等式左端是二次项且系数是1,等式右端是一次项,这样才能准确写出其焦点坐标和准线方程.
7.答案 22或3
解析 由m2=4得m=±2.
当m=2时,曲线x2+y22=1为焦点在y轴上的椭圆,
此时a=2,c=2-1=1,离心率e=12=22.
当m=-2时,曲线x2-y22=1为焦点在x轴上的双曲线,
此时a=1,c=2+1=3,离心率e=31=3.
8.D 由题意可得c=1.
当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4;
当椭圆的焦点在y轴上时,(m+4)-9=1,解得m=6.故选D.
易错警示
研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论.
9.答案 2或233
解析 由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示;或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,
即ba=3或ba=33.
又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,
所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,ab=3或ab=33,
所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
10.D 由y=kx-1,x2-y2=4得(1-k2)x2+2kx-5=0①.
当1-k2=0,即k=±1时,①式为一元一次方程,原方程组只有一解;
当1-k2≠0,即k≠±1时,①式为一元二次方程,令Δ=4k2+20(1-k2)=0,解得k=±52,原方程组有两个相同的解.因此符合条件的直线有4条,故选D.
易错警示
解决直线与双曲线的位置关系问题时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是不是一元二次方程,即二次项系数是不是0.
11.解析 (1)由题意得a=2c,b=3c,则椭圆E的方程可化为x24c2+y23c2=1,由x24+y23=c2,x4+y2=1,得x2-2x+4-3c2=0.∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0,∴c2=1,∴a2=4,b2=3,
∴椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)得M1,32,又P(0,2),∴|PM|2=54.
当直线l与x轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+3)×(2-3)=1,由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ=45;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x24+y23=1,得(3+4k2)·x2+16kx+4=0,
则x1x2=43+4k2,且Δ=48(4k2-1)>0,则k2>14,
∴|PA|·|PB|=(1+k2)|x1x2|
=(1+k2)·43+4k2=1+13+4k2=54λ,
∴λ=451+13+4k2,又k2>14,∴45<λ<1.
综上所述,λ的取值范围是45,1.
12.解析 (1)由题意得3a2+34b2=1,a2=b2+c2,e=ca=12,∴a=2,b=3,c=1,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)连接OR,PO,
∵O,R分别为F1F2,PF2的中点,∴OR∥PF1,
∴△PF1R与△PF1O同底等高,
∴S△PF1R=S△PF1O,∴S=S△QF1O+S△PF1O=S△PQO.
①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=12×1×32--32=32;
②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.
由y=k(x+1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,
∴|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2,
又点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,
∴S=12|PQ|·d=6k2(k2+1)(3+4k2)2,
令a=3+4k2,则a∈(3,+∞),
则S=6(a-3)(a+1)16a2=32-3a2-2a+1.
∵a∈(3,+∞),∴1a∈0,13,
∴-3a2-2a+1∈(0,1),∴S∈0,32.
综上所述,S∈0,32,则S的最大值为32.
易错警示
在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,常要设出直线的方程,需对直线斜率存不存在进行讨论,解题时要防止未讨论导致错误.
思想方法练
1.A 由题意直接画出图形,将几何关系在图形中呈现出来,充分体现了数形结合的思想.
如图所示,设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则|PM|=|PF1|,
∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=10.
连接OQ,易知OQ是△F1F2M的中位线,∴|OQ|=5,∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,
∴当点Q在y轴上时,点Q与短轴端点间的距离最小,为5-4=1.故选A.
思想方法
在解决直线与圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免繁杂的计算和推理,实现快速、准确解题.
2.A 如图,|TP|=2|TQ|,|TF1|=2|F1F2|=2|TF2|,则PF1=2QF2,∴PF1∥QF2,延长QF2交椭圆C于另一点M,又PF1⊥PF2,由对称性得∠F1MF2=90°.
设|QF2|=m,则|PF1|=|MF2|=2m,根据椭圆的定义,知|QF1|=2a-m,|MF1|=2a-2m,在Rt△F1MQ中,(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,解得m=a3(m=0舍去).在Rt△F1MF2中,(2a-2m)2+(2m)2=4c2,∴5a2=9c2=45,
利用三角形知识和椭圆的定义得到a,c之间的关系式,体现了方程的思想.
则a=3,b=2,故椭圆C的方程为x29+y24=1,故选A.
3.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
因为直线y=x-3与该椭圆相切,
所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
利用方程(组)知识,得到a,b的关系式(方程),再解方程(组)得到椭圆的方程.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|·|PQ|2=22×22=2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22+y2=1,y=kx+k得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|PQ|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1
=22×k2+12k2+1,
同理可得,|MN|=22×k2+1k2+2.
选择参数k为自变量,建立S四边形PMQN与k的函数关系式,利用函数知识求S四边形PMQN的最大(小)值.
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2
=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4×k4+2k2+12k4+5k2+2
=4×12-12k22k4+5k2+2=4×
12-14k2+4k2+10.
因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以14k2+4k2+10∈0,118,
所以4×
12-14k2+4k2+10∈169,2.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.
思想方法
在解决和直线与圆锥曲线有关的最大(小)值和取值范围问题时,常构造函数,利用函数知识求解.
4.答案 10-1
解析 根据题意,得抛物线的焦点为(1,0),设为F.当x=2时,y2=4×2=8,所以y=±22,即|y|=22.因为3>22,所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线x=-1于点N,由抛物线的定义可知|PN|=|PM|+1=|PF|,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|最小,
将抛物线上一点到准线的距离转化为到焦点距离,利用三角形三边之间的关系求最值,体现了转化的数学思想.
此时为|PA|+|PF|=|AF|,又A(2,3),所以|AF|=(2-1)2+32=10,即|PM|+1+|PA|的最小值为10,所以|PM|+|PA|的最小值为10-1.
5.解析 (1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,
则Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0,
x1+x2=-2kb9+k2,xM=x1+x22=-kb9+k2,yM=kxM+b=9b9+k2,
∴kOM=yMxM=-9k,即kOM·k=-9,
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)四边形OAPB能为平行四边形.
∵直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)过点m3,m,
∴b=m-k3m,
由(1)知,Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0,
∴k2m2>9b2-9m2,
∴k2m2>9m-k3m2-9m2,
又m≠0,∴k2>k2-6k,即6k>0,则k>0,
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3.
由(1)知直线OM的方程为y=-9kx,
由y=-9kx,9x2+y2=m2得x2=k2m29k2+81,
则点P的横坐标xP=±km39+k2.
∵b=m(3-k)3,∴l的方程为y=kx+m(3-k)3,
将y=-9kx代入y=kx+m(3-k)3,
得kx+m(3-k)3=-9kx,可得点M的横坐标xM=k(k-3)m3(9+k2).
当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM时,四边形OAPB为平行四边形,
将平行四边形问题转化为中点坐标问题,将几何条件代数化,体现了转化与化归的数学思想.
此时±km39+k2=2×k(k-3)m3(9+k2),解得k1=4-7,k2=4+7,均符合题意,
∴当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB能为平行四边形.
思想方法
转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当转化,将平面几何条件转化为解析条件.
6.C 当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点为(0,-2)或(4,0).
对焦点的不同情况进行分类讨论,体现了分类讨论思想.
当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,∴y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.
7.C |y|=x+2表示两条端点为A(-2,0)且斜率分别为1和-1的射线.
易知曲线|y|=x+2与曲线C必有两个交点(0,2),(0,-2).
曲线C中含参数,根据参数的取值范围讨论曲线的类型,体现了分类讨论思想.
当曲线C:x24λ+y24=1为椭圆,即λ>0时,只需点A(-2,0)在椭圆内,即44λ+024<1,解得λ>1;当曲线C:x24λ+y24=1为双曲线,即λ<0时,渐近线方程:y=±-1λx,要使曲线|y|=x+2与曲线C:x24λ+y24=1恰有两个不同的交点,只需-1λ≤1,解得λ≤-1,所以实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞),故选C.
8.解析 (1)由题意得,a2-1=1,所以a=2.
所以椭圆C的长轴长2a=22,离心率e=1a=22.
(2)设直线l的方程为x=my+1,
联立x22+y2=1,x=my+1,消去x并整理,
得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2m)2-4·(m2+2)·(-1)=8m2+8>0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2+8m2+2.
所以△AOB的面积S=12·|OF|·|y1-y2|=2·m2+1m2+2,
令m2+1=t,则t∈[1,+∞),S△AOB=2tt2+1=2t+1t≤22,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.
所以△AOB的面积的最大值为22.
(3)在Rt△AOB中,需对直角顶点进行讨论.
①若∠OAB=90°,则OA⊥FA,
又OA=(x1,y1),FA=(x1-1,y1),
则x1(x1-1)+y12=0.
因为x122+y12=1,所以x122-x1(x1-1)=1,即x12-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°.
同理,∠OBA≠90°.
②若∠AOB=90°,则OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0,
即(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0,
故-m2+1m2+2-2m2m2+2+1=0,解得m2=12,所以m=±22.
故l:x=±22y+1,即y=±2(x-1).
综上所述,直线l的方程为y=±2(x-1).
思想方法
分类讨论思想在圆锥曲线中主要体现在圆锥曲线标准方程的形式有时需要进行讨论,直线与圆锥曲线的位置关系有多种,解题时要依据题意进行分类讨论等.
易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件致错
1.已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( )
A.x220-y236=1(x≠0)
B.x236+y220=1(x≠0)
C.x220+y236=1(x≠0)
D.x236-y220=1(x≠0)
2.设椭圆E的方程为x22+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A,B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆.圆心C的轨迹方程为 .
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清致错
3.若动圆与圆x2+y2=1和圆x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.双曲线的一支 B.圆
C.抛物线 D.双曲线
4.设P(x,y),若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8,则点P的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1 B.x24+y216=1
C.x24-y28=1 D.x28-y24=1
易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的特征致错
5.(2020山东临沂期末)直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,3)∪(3,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞)
D.(1,+∞)
6.(2021甘肃兰州月考)若抛物线x=ay2的准线方程为x=1,则实数a的值为 .
7.已知m2=4,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率为 .
易错点4 忽视椭圆、双曲线、抛物线的焦点位置致错
8.(2021吉林长春外国语学校月考)若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为( )
A.1 B.4 C.1或7 D.4或6
9.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 .
易错点5 忽视判别式对参数的限制致错
10.(2022陕西金台期末)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个交点,则符合条件的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.已知点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x4+y2=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.
易错点6 忽视直线斜率不存在的情况致错
12.如图,O是坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=12,点M3,-32,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于另一点Q,R是PF2的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,试求S的最大值.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.(2022山东潍坊期末)已知F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线,交外角的平分线于点Q,则Q与短轴端点间的最小距离为( )
A.1 B.2
C.4 D.5
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
2.(2022河南信阳开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距|F1F2|=25,过点T(35,0)的直线与椭圆交于P,Q两点,若TP=2TQ,且PF1⊥PF2,则椭圆C的方程为( )
A.x29+y24=1 B.x28+y23=1
C.x27+y22=1 D.x26+y2=1
3.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
4.(2022湖南宁乡一中月考)已知P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标为(2,3),则|PA|+|PM|的最小值是 .
5.(2022湖北武汉模拟)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点m3,m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,请说明理由.
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
6.已知对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )
A.y2=16x B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y D.y2=16x或x2=8y
7.(2022上海复兴高级中学期中)若曲线|y|=x+2与曲线C:x24λ+y24=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1]
C.(-∞,-1]∪(1,+∞)
D.[-1,0)∪(1,+∞)
8.(2021北京首都师范大学附中期中)已知椭圆C:x2a2+y2=1(其中a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F且与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的长轴长和离心率;
(2)求△AOB的面积的最大值;
(3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C 由题意可知|AC|+|AB|=20-8=12>|BC|=8,则点A的轨迹是焦点在y轴且中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,此时2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为x220+y236=1(x≠0),故选C.
易错警示
求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
2.答案 y=-12x-233
则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-3
在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,注意判别式的取值范围.本题若忽略-3
易错警示
双曲线的定义中含有“绝对值”,当得出动点到两定点距离之差为常数时,考虑其轨迹只是双曲线的一支,解题时防止忽视定义的形式导致答案错误.
4.B 不妨设F1(0,23),F2(0,-23),由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,23),F2(0,-23)的距离之和为定值8,并且8>43=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=43,所以a=4,c=23,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为x24+y216=1,故选B.
5.C 联立y=x+2,3x2+my2=3m,
消去y,得(3+m)x2+4mx+m=0,
所以Δ=16m2-4m(m+3)>0,所以m>1或m<0,
又在椭圆x2m+y23=1中,m>0,且m≠3,
所以m>1且m≠3,故选C.
易错警示
在椭圆方程x2m+y23=1中,参数m的取值范围是m>0,且m≠3,解题时防止遗漏导致解题错误.
6.答案 -14
解析 抛物线方程可化为y2=1ax,因为其准线方程为x=1,所以-14a=1,解得a=-14.
易错警示
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时,应先把抛物线的方程化为标准形式,即等式左端是二次项且系数是1,等式右端是一次项,这样才能准确写出其焦点坐标和准线方程.
7.答案 22或3
解析 由m2=4得m=±2.
当m=2时,曲线x2+y22=1为焦点在y轴上的椭圆,
此时a=2,c=2-1=1,离心率e=12=22.
当m=-2时,曲线x2-y22=1为焦点在x轴上的双曲线,
此时a=1,c=2+1=3,离心率e=31=3.
8.D 由题意可得c=1.
当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4;
当椭圆的焦点在y轴上时,(m+4)-9=1,解得m=6.故选D.
易错警示
研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论.
9.答案 2或233
解析 由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示;或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,
即ba=3或ba=33.
又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,
所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,ab=3或ab=33,
所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
10.D 由y=kx-1,x2-y2=4得(1-k2)x2+2kx-5=0①.
当1-k2=0,即k=±1时,①式为一元一次方程,原方程组只有一解;
当1-k2≠0,即k≠±1时,①式为一元二次方程,令Δ=4k2+20(1-k2)=0,解得k=±52,原方程组有两个相同的解.因此符合条件的直线有4条,故选D.
易错警示
解决直线与双曲线的位置关系问题时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是不是一元二次方程,即二次项系数是不是0.
11.解析 (1)由题意得a=2c,b=3c,则椭圆E的方程可化为x24c2+y23c2=1,由x24+y23=c2,x4+y2=1,得x2-2x+4-3c2=0.∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0,∴c2=1,∴a2=4,b2=3,
∴椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)得M1,32,又P(0,2),∴|PM|2=54.
当直线l与x轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+3)×(2-3)=1,由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ=45;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x24+y23=1,得(3+4k2)·x2+16kx+4=0,
则x1x2=43+4k2,且Δ=48(4k2-1)>0,则k2>14,
∴|PA|·|PB|=(1+k2)|x1x2|
=(1+k2)·43+4k2=1+13+4k2=54λ,
∴λ=451+13+4k2,又k2>14,∴45<λ<1.
综上所述,λ的取值范围是45,1.
12.解析 (1)由题意得3a2+34b2=1,a2=b2+c2,e=ca=12,∴a=2,b=3,c=1,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)连接OR,PO,
∵O,R分别为F1F2,PF2的中点,∴OR∥PF1,
∴△PF1R与△PF1O同底等高,
∴S△PF1R=S△PF1O,∴S=S△QF1O+S△PF1O=S△PQO.
①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=12×1×32--32=32;
②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.
由y=k(x+1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,
∴|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2,
又点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,
∴S=12|PQ|·d=6k2(k2+1)(3+4k2)2,
令a=3+4k2,则a∈(3,+∞),
则S=6(a-3)(a+1)16a2=32-3a2-2a+1.
∵a∈(3,+∞),∴1a∈0,13,
∴-3a2-2a+1∈(0,1),∴S∈0,32.
综上所述,S∈0,32,则S的最大值为32.
易错警示
在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,常要设出直线的方程,需对直线斜率存不存在进行讨论,解题时要防止未讨论导致错误.
思想方法练
1.A 由题意直接画出图形,将几何关系在图形中呈现出来,充分体现了数形结合的思想.
如图所示,设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则|PM|=|PF1|,
∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=10.
连接OQ,易知OQ是△F1F2M的中位线,∴|OQ|=5,∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,
∴当点Q在y轴上时,点Q与短轴端点间的距离最小,为5-4=1.故选A.
思想方法
在解决直线与圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免繁杂的计算和推理,实现快速、准确解题.
2.A 如图,|TP|=2|TQ|,|TF1|=2|F1F2|=2|TF2|,则PF1=2QF2,∴PF1∥QF2,延长QF2交椭圆C于另一点M,又PF1⊥PF2,由对称性得∠F1MF2=90°.
设|QF2|=m,则|PF1|=|MF2|=2m,根据椭圆的定义,知|QF1|=2a-m,|MF1|=2a-2m,在Rt△F1MQ中,(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,解得m=a3(m=0舍去).在Rt△F1MF2中,(2a-2m)2+(2m)2=4c2,∴5a2=9c2=45,
利用三角形知识和椭圆的定义得到a,c之间的关系式,体现了方程的思想.
则a=3,b=2,故椭圆C的方程为x29+y24=1,故选A.
3.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
因为直线y=x-3与该椭圆相切,
所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
利用方程(组)知识,得到a,b的关系式(方程),再解方程(组)得到椭圆的方程.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|·|PQ|2=22×22=2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22+y2=1,y=kx+k得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|PQ|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1
=22×k2+12k2+1,
同理可得,|MN|=22×k2+1k2+2.
选择参数k为自变量,建立S四边形PMQN与k的函数关系式,利用函数知识求S四边形PMQN的最大(小)值.
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2
=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4×k4+2k2+12k4+5k2+2
=4×12-12k22k4+5k2+2=4×
12-14k2+4k2+10.
因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以14k2+4k2+10∈0,118,
所以4×
12-14k2+4k2+10∈169,2.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.
思想方法
在解决和直线与圆锥曲线有关的最大(小)值和取值范围问题时,常构造函数,利用函数知识求解.
4.答案 10-1
解析 根据题意,得抛物线的焦点为(1,0),设为F.当x=2时,y2=4×2=8,所以y=±22,即|y|=22.因为3>22,所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线x=-1于点N,由抛物线的定义可知|PN|=|PM|+1=|PF|,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|最小,
将抛物线上一点到准线的距离转化为到焦点距离,利用三角形三边之间的关系求最值,体现了转化的数学思想.
此时为|PA|+|PF|=|AF|,又A(2,3),所以|AF|=(2-1)2+32=10,即|PM|+1+|PA|的最小值为10,所以|PM|+|PA|的最小值为10-1.
5.解析 (1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,
则Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0,
x1+x2=-2kb9+k2,xM=x1+x22=-kb9+k2,yM=kxM+b=9b9+k2,
∴kOM=yMxM=-9k,即kOM·k=-9,
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)四边形OAPB能为平行四边形.
∵直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)过点m3,m,
∴b=m-k3m,
由(1)知,Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0,
∴k2m2>9b2-9m2,
∴k2m2>9m-k3m2-9m2,
又m≠0,∴k2>k2-6k,即6k>0,则k>0,
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3.
由(1)知直线OM的方程为y=-9kx,
由y=-9kx,9x2+y2=m2得x2=k2m29k2+81,
则点P的横坐标xP=±km39+k2.
∵b=m(3-k)3,∴l的方程为y=kx+m(3-k)3,
将y=-9kx代入y=kx+m(3-k)3,
得kx+m(3-k)3=-9kx,可得点M的横坐标xM=k(k-3)m3(9+k2).
当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM时,四边形OAPB为平行四边形,
将平行四边形问题转化为中点坐标问题,将几何条件代数化,体现了转化与化归的数学思想.
此时±km39+k2=2×k(k-3)m3(9+k2),解得k1=4-7,k2=4+7,均符合题意,
∴当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB能为平行四边形.
思想方法
转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当转化,将平面几何条件转化为解析条件.
6.C 当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点为(0,-2)或(4,0).
对焦点的不同情况进行分类讨论,体现了分类讨论思想.
当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,∴y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.
7.C |y|=x+2表示两条端点为A(-2,0)且斜率分别为1和-1的射线.
易知曲线|y|=x+2与曲线C必有两个交点(0,2),(0,-2).
曲线C中含参数,根据参数的取值范围讨论曲线的类型,体现了分类讨论思想.
当曲线C:x24λ+y24=1为椭圆,即λ>0时,只需点A(-2,0)在椭圆内,即44λ+024<1,解得λ>1;当曲线C:x24λ+y24=1为双曲线,即λ<0时,渐近线方程:y=±-1λx,要使曲线|y|=x+2与曲线C:x24λ+y24=1恰有两个不同的交点,只需-1λ≤1,解得λ≤-1,所以实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞),故选C.
8.解析 (1)由题意得,a2-1=1,所以a=2.
所以椭圆C的长轴长2a=22,离心率e=1a=22.
(2)设直线l的方程为x=my+1,
联立x22+y2=1,x=my+1,消去x并整理,
得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2m)2-4·(m2+2)·(-1)=8m2+8>0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2+8m2+2.
所以△AOB的面积S=12·|OF|·|y1-y2|=2·m2+1m2+2,
令m2+1=t,则t∈[1,+∞),S△AOB=2tt2+1=2t+1t≤22,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.
所以△AOB的面积的最大值为22.
(3)在Rt△AOB中,需对直角顶点进行讨论.
①若∠OAB=90°,则OA⊥FA,
又OA=(x1,y1),FA=(x1-1,y1),
则x1(x1-1)+y12=0.
因为x122+y12=1,所以x122-x1(x1-1)=1,即x12-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°.
同理,∠OBA≠90°.
②若∠AOB=90°,则OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0,
即(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0,
故-m2+1m2+2-2m2m2+2+1=0,解得m2=12,所以m=±22.
故l:x=±22y+1,即y=±2(x-1).
综上所述,直线l的方程为y=±2(x-1).
思想方法
分类讨论思想在圆锥曲线中主要体现在圆锥曲线标准方程的形式有时需要进行讨论,直线与圆锥曲线的位置关系有多种,解题时要依据题意进行分类讨论等.
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