数学湘教版（2019）第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程练习

这是一份数学湘教版（2019）第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程练习，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y=-12x2的焦点坐标是( )
A.0,18B.-18,0C.-12,0D.0,-12
2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲线是( )
A.一条直线和一条射线B.两条射线
C.两条线段D.两条直线
3.过抛物线C:y2=6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)所截得的线段的长度为22,则双曲线E的离心率e=( )
A.2B.5+12C.72D.213
4.若F1,F2是双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y225=1的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±22xB.y=±24xC.y=±73xD.y=±377x
5.已知直线x-2y-3=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,直线OP的斜率为-1,则椭圆的方程为( )
A.x245+y236=1B.x236+y227=1
C.x227+y218=1D.x218+y29=1
6.如图,在底面半径和高均为22的圆锥中,AB、CD是底面圆的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于( )
A.5B.1C.104D.52
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B是椭圆C的上顶点,直线x=13c与直线BF2交于点A,若∠AF1F2=π4,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.33C.22D.32
8.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为( )
A.815B.3C.43D.1
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当10)的渐近线方程为y=±33x,则焦点到渐近线的距离是 ,焦距为 .
14.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为C的左顶点,C上的点与点F2之间的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为 .
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和C的一条渐近线分别相交于P,Q两点(P,Q在同一象限内),若P为线段QF的中点,且|PF|=33,则双曲线C的标准方程为 .
16.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求满足下列条件的曲线的方程:
(1)离心率为34,长轴长为8的椭圆的标准方程;
(2)与椭圆x224+y240=1有相同焦点,且经过点(1,15)的双曲线的标准方程.
18.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
19.(12分)某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A,B两站点,测量距离时发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米,且以O点为原点,东侧为x轴正半轴,北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系,点P在点O的北偏东60°方向上.
(1)求点P的坐标;
(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点,测量距离时发现一点Q满足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精确到1米)和Q点的位置(精确到1°).
20.(12分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线l交抛物线C于D,E两点,且D,E两点位于x轴两侧,直线l与x轴交于点M,若OD·OE=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.
21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,右焦点为F,右顶点为A,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为122.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA、NA分别与直线x=9交于点P,Q,记线段PQ的中点为G,求证:|FG|=12|PQ|.
22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,1),离心率为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=2x+m,判断直线l和椭圆C的位置关系;
(3)设直线l':y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.
答案与解析
1.D 由y=-12x2得x2=-2y,则2p=2,即p=1,所以 p2=12.因为抛物线x2=-2y的焦点在y轴的负半轴上,所以其焦点坐标为0,-12.故选D.
2.A 由(2x+3y-1)x-3=0可得2x+3y-1=0或x-3=0.当2x+3y-1=0时,x-3≥0,此时曲线为射线;当x-3=0,即x=3时,(2x+3y-1)·x-3=0恒成立,此时曲线为直线.故曲线为一条直线和一条射线,故选A.
3.D 抛物线C的焦点为32,0.对于方程x2a2-y2=1(a>0),令x=32,可得y=±94a2-1,所以294a2-1=22,所以a=32,又b=1,所以c=34+1=72,所以e=ca=7232=213.
4.B 椭圆的焦点坐标为(0,±3),所以在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.设点P在第一象限,F1为上焦点,则|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在双曲线中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=22(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为y=±abx=±122x=±24x,故选B.
5.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,①-②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y1-y2x1-x2·y0x0=-b2a2,即12×(-1)=-b2a2,即a2=2b2③.对于x-2y-3=0,令y=0,得x=3,因为直线x-2y-3=0过椭圆的右焦点F,所以F(3,0),即c=3,所以a2-b2=c2=9④,由③④可得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.故选D.
6.A 如图1所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H,设F为抛物线的焦点,连接PF.因为E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为22,所以|OH|=|EH|=2,所以|OE|=2.
在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得点C的坐标为(2,22),代入抛物线方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为|PE|2+|EF|2=5,故选A.
图1 图2
7.A 如图,由题意知B(0,b),F2(c,0),
所以直线BF2的方程为xc+yb=1.
联立x=13c,xc+yb=1,解得x=13c,y=23b,即A13c,23b.设直线x=13c与x轴交于点M,则|F1M|=43c,|MA|=23b.因为∠AF1F2=π4,所以|F1M|=|MA|,即43c=23b,所以b=2c,所以a2-c2=b2=4c2,即a=5c,所以离心率e=ca=55.
8.C 如图所示,渐近线l的方程为y=-bax,
即bx+ay=0,点F1(-c,0)到l的距离为|AF1|=|-bc|b2+a2=b,所以|OA|=|OF1|2-|AF1|2=c2-b2=a,所以cs∠AOF1=|OA||OF1|=ac.
设BF2与l的交点为C,
因为BF2与圆F1相切,且BF2⊥l,所以C为BF2的中点,易得|OC|=b2,则cs∠COF2=|OC||OF2|=b2c,又cs∠AOF1=cs∠COF2,所以ac=b2c,所以ba=2,所以tan α=2-(-2)1+2×(-2)=43,故选C.
9.BC 当曲线C是椭圆时,4-t>0,t-1>0,4-t≠t-1,解得10,b>0),则a2+b2=16①.
由双曲线经过点(1,15),得15a2-1b2=1②.(8分)
联立①②,解得a2=12,b2=4,故双曲线的标准方程为y212-x24=1.(10分)
18.解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx(c>0),其中c=a2-b2.
不妨设A,C在第一象限,由题意可得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a,C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.(3分)
由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(6分)
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,
又因为y02=4cx0,所以x024c2+4x03c=1.(*)(8分)
易知C2的准线方程为x=-c,所以|MF|=x0+c,
而|MF|=5,所以x0=5-c,(10分)
代入(*)得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.(12分)
19.解析 (1)易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,设其标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(1分)
由题意可得a=10,c=20,所以b2=300,
所以双曲线的标准方程为x2100-y2300=1.(3分)
易得直线OP:y=33x,且P在第一象限.联立x2100-y2300=1,y=33x,所以x=1522,y=562,即点P的坐标为1522,562.(6分)
(2)由|QA|-|QB|=30可知,点Q在以A,B为焦点的双曲线上,设其为C1,标准方程为x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以b12=175,则双曲线C1的方程为x2225-y2175=1.(8分)
由|QC|-|QD|=10可知,点Q在以C,D为焦点的双曲线上,设其为C2,标准方程为y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以b22=200,所以双曲线C2的方程为y225-x2200=1.(10分)
两双曲线方程联立,结合题意可得Q14 40047,2 97547,
所以|OQ|≈19米.设OQ与x轴所成的角为α,则tan α=2 9754714 40047,解得α≈24°,故Q点在O点的北偏东66°方向上.(12分)
20.解析 (1)如图所示,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A1,过点B作准线的垂线,垂足为B1.设准线与x轴交于点G.
易知∠AFx=∠CBB1=π3,|BC|=2,
∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)
∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,
∴|GF|=12|AA1|=12|AF|=32,∴p=32,
∴抛物线C的方程为y2=3x.(4分)
(2)不妨设D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y20时,18-m2>0,解得-32