湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理复习提升练习含答案

这是一份湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理复习提升练习含答案，共14页。

本章复习提升易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　易错点1　计数时重复或遗漏致错1.直线l的方程为Ax+By=0,若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示　　　　条不同的直线. 易错点2　对特殊元素或特殊位置考虑不周致错2.(2022福建福州永泰一中期中)某班进行演讲比赛,共有6位选手参加,其中2位女生,4位男生,如果2位女生不能连续出场,且女生不能排在第一个和最后一个出场,则出场顺序的排法种数为(　　)A.120　　B.144　　C.480　　D.903.(2022湖南长沙明德中学期中)有0,1,2,3,4,5六个数字.(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 230大的四位数?易错点3　不能正确区分排列与组合问题致错4.将大小、形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排,不同的排列方法有　　　　种. 5.(2022湖南长沙麓山国际实验学校月考)某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加马拉松比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有　　　　种. 易错点4　混淆展开式中项的系数与二项式系数致错6.(多选)(2022广东华南师大附中期中)对于x2-3x6的展开式,下列说法正确的是(　　)A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为64C.常数项为1 215D.系数最大的项为第3项7.(2022河南名校联盟期中)已知x+axn的展开式中第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35,前三项的系数和为201.(1)求正实数a,n的值;(2)求展开式中系数最大的项.思想方法练　　　　　　　　　　　　　　　　一、分类讨论思想在排列、组合中的应用1.(2022湖南永州四中期中)甲、乙、丙3位志愿者被安排在星期一至星期五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.20种　　　　B.30种C.40种　　　　D.60种2.(2022北京丰台期中)若从0,2,4中任取2个数字,从1,3中任取1个数字,则可以组成没有重复数字的三位数的个数为(　　)A.18　　B.24　　C.28　　D.32二、转化与化归思想在排列、组合中的应用3.某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有(　　)A.474种　　　　B.77种C.462种　　　　D.79种4.(2022吉林长春十一高期中)现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同者不相邻,则不同的排法种数为(　　)A.48　　B.72　　C.78　　D.84三、整体思想在排列、组合中的应用5.(2020山东济宁期末)武汉封城期间,某医院抽调5名医生,分赴三所“方舱医院”支援抗疫,要求每名医生只去一所“方舱医院”,每所“方舱医院”至少安排一名医生,由于工作需要,医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”,则所有的不同安排方案有(　　)A.18种　　　　B.24种C.36种　　　　D.48种6.(2021湖南长沙雅礼中学月考)中国古代儒家要求学生掌握六种技能:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,每天连排六节,每艺一节,要求“礼”和“数”不能相邻,“射”和“乐”必须相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　)A.24种　　　　B.72种C.96种　　　　D.144种四、函数与方程思想在二项式定理中的应用7.在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为　　　　(用数字作答). 8.(2022山东潍坊月考)已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则m=　　　　;a1+a3+a5=　　　　. 9.(2021浙江宁波镇海中学期末)在x-123xn的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求n;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中所有项的系数的绝对值之和.答案与分层梯度式解析易混易错练1.答案　22解析　当A或B中有一个为0时,有2条不同的直线;当A·B≠0时,有5×4=20条不同的直线.故共有20+2=22条不同的直线.易错警示　　本题的易错点是认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而出现A62=30条不同直线的错误答案.实际上,这种想法导致了重复计数,所以计数时,不但要懂得计数方法,还要考虑实际情况,在本题中应注意直线方程的特征.2.B　分两步完成:第一步,排4位男生,有A44种;第二步,在4位男生形成的中间间隔中插入2位女生,有A32种.由分步乘法计数原理知,共有A44A32=24×6=144(种).故选B.3.解析　(1)分为三类:第一类:0在个位时,有A53个;第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个,有A41种,十位和百位从余下的数字中选,有A42种,共有A41·A42个;第三类:4在个位时,与第二类同理,也有A41·A42个.由分类加法计数原理知,共有A53+A41·A42+A41·A42=156个无重复数字的四位偶数.(2)分为两类:个位上的数字是0时,满足条件的四位数有A53个;个位数上的数字是5时,满足条件的四位数有A41·A42个.故满足条件的四位数有A53+A41·A42=108(个).(3)分为四类:第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A41·A53个;第二类:形如13□□,14□□,15□□,共有A31·A42个;第三类:形如124□,125□,共有A21·A31个;第四类:形如123□,共有A21个.由分类加法计数原理知,共有A41·A53+A31·A42+A21·A31+A21=284(个).易错警示　　在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解.4.答案　56解析　8个小球排好后对应着8个位置,相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题,这样共有C83=56种排法.易错警示　　本题是相同元素的排列问题,可以看成一个组合问题,要注意3个红球是无差别的.5.答案　84解析　分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加,有C21C62=30种报名方案;②只从丙、丁中选出1人参加,有C21C62=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1人参加,有C21C21C61=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案.6.ABC　 x2-3x6的展开式中所有项的二项式系数和为26=64,A正确;x2-3x6中,令x=1,得(1-3)6=64,B正确;展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k·-3xk=(-3)kC6kx12-3k(0≤k≤6,k∈N),令12-3k=0,得k=4,所以常数项为(-3)4C64=1 215,C正确;易得第2,4,6项系数为负值,第1项系数为1,第3项系数为(-3)2C62=135,第5项系数为(-3)4C64=1 215,第7项系数为(-3)6C66=729,则系数最大的项为第5项,D不正确.故选ABC.7.解析　(1)x+axn的通项为Tr+1=Cnr(x)n-r·axr=arCnrxn-3r2(0≤r≤n,r∈N).根据题意得Cn2-Cn1=35,即n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).又前三项的系数和为201,所以1+aCn1+a2Cn2=201,即9a2+2a-40=0,解得a=2或a=-209(舍去).故a=2,n=10.(2)由(1)得x+axn=x+2x10,其通项为Tr+1=2rC10rx10-3r2(0≤r≤10,r∈N).设第(r+1)项的系数最大,则2rC10r≥2r-1C10r-1,2rC10r≥2r+1C10r+1,即2×10!(10-r)!r!≥10!(10-r+1)!(r-1)!,10!(10-r)!r!≥2×10!(10-r-1)!(r+1)!,即2r≥110-r+1,110-r≥2r+1,解得193≤r≤223.因为r∈{0,1,2,3,…,9,10},所以r=7.当r=7时,T8=15 360x-112,则展开式中系数最大的项为T8=15 360x-112.易错警示　　(a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是Cnr(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;第(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数Cnr.注意二项式系数Cnr一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.思想方法练1.A　甲是特殊元素,甲安排在另外两位前面,即只能在星期一、二、三参加,分情况讨论并求解.分3种情况讨论:甲在星期一参加,有A42=12种安排方法;甲在星期二参加,有A32=6种安排方法;甲在星期三参加,有A22=2种安排方法.故共有12+6+2=20种安排方法.故选A.2.C　三位数中0不能在百位,因此需分所组成的三位数中含0和不含0两种情况讨论.分2种情况讨论:①从0,2,4中取2个数不含0,有1种取法,从1,3中取1个数,有2种取法,取出的三个数全排列,有A33=6种情况,故共有2×6=12个没有重复数字的三位数;②从0,2,4中取2个数含0,有2种取法,从1,3中取1个数,有2种取法,取出的三个数全排列再减去0在百位的情况,有A33-2=4种情况,故共有2×2×4=16个没有重复数字的三位数.所以共有12+16=28个符合题意的三位数.思想方法　　分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类时要确定恰当的分类标准,要做到不重不漏.3.A　根据题意,该教师所有的上课方法有A93种,连着上3节课的情况有5A33种,将所求问题转化为求问题的反面,即求连着上3节课的情况种数,利用总的排列数减去连上3节课的排列数即可,体现了转化的思想.则所求的排法种数为A93-5A33=474,故选A.4.A　将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数即为所求,体现了转化的思想.五个小球全排列,共有A55=120种排法.当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时,共有A22A22A33=24种排法;当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有A22A22A32=24种排法;当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有A22A22A32=24种排法.∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.思想方法　　转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.5.C　甲、乙两人必须安排在一起,其本质上是元素相邻问题,把相邻元素看成一个整体,体现了整体思想.将甲、乙看成一个整体,即相当于只有4名医生,则4名医生中有2名去同一所“方舱医院”,故所有的不同安排方案种数为C42·A33=36.故选C.6.D　因为“射”“乐”相邻,所以将“射”“乐”看成一个整体,体现了整体的思想.将“射”和“乐”看成一个整体,与“御”和“书”全排列,有A22A33种排法,因为“礼”和“数”不能相邻,所以将“礼”“数”插在前边产生的4个空中,有C42A22种情况,所以不同的排课顺序有A22A33C42A22=144(种),故选D.思想方法　　整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求.7.答案　243解析　要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项的系数和,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.8.答案　-1;0解析　(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5rxr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,则T2=C51x1=5x;令r=2,则T3=C52x2=10x2,所以(1+mx)(1+x)5的展开式中含x2的项为10x2+mx·5x=5x2,故m=-1,故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5,令x=1,则(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,则(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0,所以a1+a3+a5=0.9.解析　(1)x-123xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)n-r-123xr=Cnr-12rx3n-5r6(0≤r≤n,r∈N).因为前三项系数的绝对值成等差数列, 所以2Cn1·12=Cn0+Cn2-122,化简得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1.易知n≥2,所以n=8.(2)由(1)知n=8,故原式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5=C84-124x46=70×116x23=358x23.(3)展开式中所有项的系数的绝对值之和为C80·120+C81121+…+C88128=1+128=6 561256.思想方法函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求展开式中的特定项;(2)求与系数和有关的问题;(3)求展开式中系数最大(最小)的项的问题.