湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理综合拔高练含答案

这是一份湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理综合拔高练含答案，共12页。

综合拔高练高考练　　　　　　　　　　　　　　　　考点1　排列、组合及其应用1.(2021全国乙理,6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　)A.60种　　　　B.120种C.240种　　　　D.480种2.(2021全国甲理,10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)A.13　　　　B.25C.23　　　　D.453.(2020新高考Ⅰ,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　)A.120种　　　　B.90种C.60种　　　　D.30种4.(2019课标全国Ⅰ理,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)A.516　　　　B.1132C.2132　　　　D.11165.(2020全国Ⅱ理,14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种. 考点2　二项展开式的特定项、项的系数、二项式系数6.(2020北京,3)在(x-2)5的展开式中,x2的系数为(　　)A.-5　　　　B.5C.-10　　　　D.107.(2020全国Ⅰ理,8)x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A.5　　　　B.10C.15　　　　D.208.(2021上海,6)已知二项式(x+a)5展开式中,x2的系数为80,则a=　　　　. 9.(2020全国Ⅲ理,14)x2+2x6的展开式中常数项是　　　　(用数字作答). 10.(2021浙江,13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　;a2+a3+a4=　　　　. 11.(2020浙江,12)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=　　　　,a1+a3+a5=　　　　. 12.(2019浙江,13)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 模拟练　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应用实践1.(2022山东师范大学附中期中)将10个完全相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中小球的个数不小于它的编号,则不同的放法种数为(　　)A.10　　B.12　　C.13　　D.152.(2022黑龙江哈尔滨第六中学校期中)一个口袋中有标号为1,2,3的小球各一个,小球的大小相同、质地均匀.每次从中取出一个球,记下号码后放回,当三种号码的小球全部取出时停止,则恰好取5次小球时停止的概率为(　　)A.2081　　B.1481　　C.20243　　D.142433.(2022湖南师大附中期中)中国古代的五音,一般指五声音阶,依次为宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧,那么可排成的不同音序的种数为(　　)A.120　　B.90　　C.60　　D.404.(多选)(2022广东广州天河外国语学校期中)已知在x+124xn的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是(　　)A.展开式中所有项的系数之和为256B.展开式中含x的项为T5=358xC.展开式中有3项有理项D.展开式中系数最大的项为第3项和第4项5.(2022福建莆田一中期末)某学校实行新课程改革,即除语、数、外三科为必考科目外,还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,理、化为必选,若为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排在下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有(　　)A.444种　　　　B.1 776种C.1 440种　　　　D.1 560种6.(2022上海市实验学校期末)从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为(　　)A.1954　　B.3554　　C.1927　　D.41607.(2022湖南临澧一中期中)99C101-992C102+993C103-…+(-1)k-199kC10k+…-9910C1010除以97的余数是　　　　. 8.(2022浙江学军中学期中)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,a1+a2+a3+…+an-1=61-n,则n=　　　　,a2=　　　　. 9.(2021湖南衡阳八中模拟)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,g(x)=f(x)(x-n)=b1x+b2x2+…+bn+1·xn+1,其中n∈N+,ai∈R(i=1,2,…,n),bi∈R(i=1,2,…,n+1),则a1+a2+…+an=　　　　,b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=　　　　. 答案与分层梯度式解析高考练1.C　先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C52种分法,然后将4个项目全排列,共有A44种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C52·A44=240(种),故选C.2.C　从6个位置中任选2个位置排2个0,其他4个位置排4个1,共有C62C44=15种排法;先排4个1,再将2个0插空,共有C52=10种插法,故所求概率P=1015=23.易错警示　　本题是相同元素的排列问题,实际上元素之间无区别,是组合问题.3.C　第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6(种);第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10(种);第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1(种).所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.4.A　重卦是由从下到上排列的6个爻组成的,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=64(种).重卦中恰有3个“阳爻”的共有C63C33=20(种).故所求概率P=2064=516,故选A.5.答案　36解析　因为每个小区至少安排1名同学,所以4名同学的分组方案只能为1,1,2,所以不同的安排方法共有C41×C31×C22A22×A33=36(种).6.C　(x-2)5的展开式的通项是Tr+1=C5r(x)5-r(-2)r=(-2)rC5rx5-r2(0≤r≤5,r∈N),令5-r2=2,解得r=1,因此x2的系数为(-2)1C51=-10,故选C.7.C　要求x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为C53=10,x4y的系数为C51=5,故x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.8.答案　2解析　(x+a)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-rar(0≤r≤5,r∈N),令5-r=2,得r=3,则C53a3=80,解得a=2.9.答案　240解析　展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r·2xr=2rC6rx12-3r(0≤r≤6,r∈N),令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24C64=240.10.答案　5;10解析　(x-1)3的展开式的通项为Tk+1=C3kx3-k(-1)k(k=0,1,2,3),(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=C4rx4-r(r=0,1,2,3,4).令3-k=3,4-r=3,得k=0,r=1,所以a1=C30(-1)0+C41=5.令x=1,则原多项式化为24=1+a1+a2+a3+a4,所以a2+a3+a4=24-a1-1=16-6=10.11.答案　80;122解析　二项展开式的通项Tr+1=C5r(2x)r=C5r·2rxr,∴a4=C54×24=80;a1+a3+a5=C51×2+C53×23+C55×25=10+80+32=122.12.答案　162;5解析　(2+x)9的展开式的通项为Tr+1=C9r(2)9-r·xr=C9r·29-r2·xr(r=0,1,2,…,9).令r=0,得常数项T1=C90·292·x0=292=162.要使系数为有理数,则只需9-r2∈Z,则r必为奇数,满足条件的r有1,3,5,7,9,故系数为有理数的项的个数是5.模拟练1.D　先在2号盒子里放入1个小球,3号盒子里放入2个小球,原问题即可转化为将剩下的7个小球放入3个盒子里,每个盒子里至少放1个小球的问题.将剩下的7个小球排成一排,排好后有6个空位可选,在6个空位中任选2个,插入挡板即可,则有C62=15种不同的放法.故选D.2.B　分两种情况,取到的标号的次数为3,1,1和2,2,1,这两种情况是互斥的.当取到的标号的次数为3,1,1时,试验发生包含的基本事件共有35个,满足条件的基本事件有C31C43C21个,∴这种情况的概率P1=C31C43C2135=881.当取到的标号的次数为2,2,1时,试验发生包含的基本事件共有35个,满足条件的基本事件有C31C42C22个,∴这种情况的概率P2=C31C42C2235=227,故恰好取5次小球时停止的概率P=P1+P2=881+227=1481.故选B.3.D　如图,从左至右依次记为1,2,3,4,5.分三类:①当角音阶在2号位置时,只需在宫、羽两音阶中选一个放到1号位置,剩下的一个音阶和其余的两个任意排到3,4,5号位置,故有A21A33=12(种);②当角音阶在3号位置时,只需在宫、羽两音阶中选一个放到1号或2号位置,剩下的一个音阶放到4号或5号位置,最后安排剩余的商、徵两个音阶,共有C21A21A21A22=16(种);③当角音阶在4号位置时,与其在2号位置的安排方法相同,共有A21A33=12(种).故满足题意的不同音序的种数为12+16+12=40,故选D.4.BCD　展开式的通项为Tr+1=Cnr·(x)n-r·124xr=12r·Cnr·xn2-34r(0≤r≤n,r∈N).由题意,得120Cn0+122Cn2=2×121·Cn1,即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),所以x+124xn=x+124x8,Tr+1=12r·C8r·x4-34r(0≤r≤8,r∈N).对于A,令x=1,则x+124x8=1+128=328=6 561256,故A错误;对于B,令4-34r=1,得r=4,此时T5=124·C84·x=358x,故B正确;对于C,要使Tr+1为有理项,则r为4的倍数,所以当r=0或r=4或r=8时,Tr+1为有理项,所以展开式中有3项有理项,故C正确;对于D,令12r·C8r≥12r-1·C8r-1,12r·C8r≥12r+1·C8r+1,解得2≤r≤3,所以展开式中系数最大的项为第3项和第4项,故D正确.故选BCD.5.B　理、化、生、史、地、政六选三,且理、化必选,所以只需在生、史、地、政中四选一,有C41=4(种).对语文、外语排课进行分类:①语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有C21C41A44=192(种);②语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择,有C31=3(种),语文和外语可都安排在上午,有上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节3种安排方式,也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有C41=4(种),其他三科可以全排列,有3×(3+4)×A22A33=252(种).综上,共有4×(192+252)=1 776(种).故选B.6.B　能组成的所有的没有重复数字的三位数有A103-A92=648(个).将10个数字分成三组,即被3除余1,有1,4,7;被3除余2,有2,5,8;被3整除,有3,6,9,0.若要求所得的三位数能被3整除,则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组或均取自第二组,有2A33=12(个);②三个数字均取自第三组,有A43-A32=18(个);③三组各取一个数字,且第三组中不取0,有C31·C31·C31·A33=162(个);④前两组各取一个数字,第三组中取0,有C31·C31·C21·A22=36(个).故能被3整除的数共有12+18+162+36=228(个),则不能被3整除的数有420个,故所求概率为420648=3554,故选B.7.答案　0解析　99C101-992C102+993C103-…+(-1)k-199kC10k+…-9910C1010=1-[1-99C101+992C102-993C103+…-(-1)k-1·99kC10k-…+9910C1010] =1-(1-99)10=1-9810=1-(97+1)10=-(9710+C101×979+C102×978+…+C109×97),此式能被97整除,故余数为0.8.答案　5;20解析　因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中只有(1+x)n的展开式中含xn,所以an=1,(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中,令x=0,可得a0=n,令x=1,可得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an,所以a0+a1+a2+…+an=2(1-2n)1-2=2n+1-2,所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-1-n=2n+1-3-n,所以2n+1-3-n=61-n,解得n=5.因为(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxr(0≤r≤n,r∈N),所以a2=C22+C32+C42+C52=1+3+6+10=20.9.答案　0;-nn解析　由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,得f(1)=a1+a2+…+an=0.b1x+b2x2+…+bn+1xn+1=g(x)=f(x)(x-n)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n),显然bn+1=1,∴b1x+b2x2+…+bnxn=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n)-xn+1,即b1+b2x+…+bnxn-1=(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n)-xn.令x=n,得b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=-nn.12345