高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课时练习

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课时练习，共7页。

A.52 B.92 C.9 D.5
2.(2020甘肃兰州期末)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )
A.30 B.27 C.24 D.21
3.(2020黑龙江哈尔滨德强高中期末)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an=Snn+2(n-1),则数列1Sn+3n的前10项和是( )
A.25 B.920 C.511 D.1011
4.(2021湖南长沙长郡中学期中)某市抗洪指挥部接到最新雨情通报,未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位,因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算,加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车,每辆翻斗车需要平均工作24 h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工,其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作,要在24 h内完成拦洪坝加高加固工程,抗洪指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车( )
A.25辆 B.24辆 C.23辆 D.22辆
5.(多选)(2022湖南益阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的有( )
A.a6+a7<0
B.a7<0
C.d可以取负整数
D.对任意n∈N+,有Sn≤S6
6.(2022四川资阳期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S12A.12 B.13 C.14 D.15
7.若a,x1,x2,x3,b与a,y1,y2,y3,y4,y5,b均为等差数列,则x3-x1y3-y1= .
8.(2021辽宁锦州义县高级中学月考)已知数列{an}的首项a1=21,且满足(2n-5)an+1=(2n-3)an+4n2-16n+15,则数列{an}中最小的一项是第 项.
9.(2022山东威海期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1 =1,an(Sn-1)=Sn2(n≥2),则an= .
10.(2022浙江温州十校联合体联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a1=1,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n·an2,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
1.B 设{an}的公差为d,d≠0,因为a1+a9=a10,所以a10=2a5,因为a10≠0,所以a5≠0,
所以a1+a2+…+a9a10=(a1+a9)+(a2+a8)+…+a5a10=9a52a5=92,故选B.
2.B 解法一:设数列{an}的公差为d.
因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.
因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.
所以d=a5-a4=-2,所以a6=a5+d=9,
所以a3+a6+a9=3a6=27.
解法二:由等差数列的性质可得,
a1+a3=2a2,a4+a6=2a5,a7+a9=2a8,
所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
3.C 由an=Snn+2(n-1)得Sn=nan-2n(n-1),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),整理得an-an-1=4,
所以{an}是公差为4的等差数列,又因为a1=1,
所以an=4n-3,从而Sn+3n=n(a1+an)2+3n=2n2+2n=2n(n+1),
所以1Sn+3n=12n(n+1)=121n-1n+1,
所以数列1Sn+3n的前10项和为12×1-12+12-13+…+110-111=12×1-111=511.
4.C 总工程量为20×24=480(h),第一辆车做的工程量为24 h;第二辆车做的工程量为24-13h;……;第n辆车做的工程量为24-n-13(n<73)h,∴n辆车做的工程量和为24n-13(1+2+…+n-1)h,
∴24n-n2-n6≥480,又∵n∈N+,∴24≤n≤121,又n<73,故至少还需要抽调23辆.故选C.
5.BD 由题意得S12=12a1+12×112×d>0,S13=13a1+13×122×d<0,化简得2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,由a3=12得a1=12-2d,则24+7d>0,12+4d<0,解得-247故数列{an}单调递减,又因为a6>0,a7<0,所以对任意n∈N+,有Sn≤S6,故选BD.
6.C 由S120,a13+a14+a15>0,a14+a15<0,即a14>0,a15<0,∴d<0,∴{an}是递减数列,且a12>0,a13>0,a14>0,a15<0,∴b1>0,b2>0,……,b12>0,b13<0,b14>0,b15<0,b16<0,……
又∵b14+b13=a14a15(a16+a13)=a14a15(a15+a14)>0,
∴(Tn)max=b1+b2+b3+…+b12+b13+b14,故n=14.故选C.
7.答案 32
解析 设两等差数列的公差分别为d1,d2,则有b-a=4d1=6d2,∴d1=32d2,∴x3-x1y3-y1=2d12d2=d1d2=32.
8.答案 5
解析 由已知得an+12n-3=an2n-5+1,a12-5=-7,所以数列an2n-5是以-7为首项、1为公差的等差数列,所以an2n-5=-7+(n-1)×1=n-8,则an=(2n-5)(n-8),
令f(n)=(2n-5)(n-8)=2n2-21n+40,则函数f(n)的图象开口向上,且对称轴为直线n=--212×2=5.25,又因为n∈N+,所以数列{an}中最小的一项是第5项.
9.答案 1,n=11n(1-n),n≥2,n∈N+
解析 ∵an(Sn-1)=Sn2(n≥2),∴(Sn-Sn-1)·(Sn-1)=Sn2,∴Sn2-Sn-Sn-1·Sn+Sn-1=Sn2,∴Sn·Sn-1=Sn-1-Sn⇒1Sn-1Sn-1=1(n≥2),1S1=1a1=1,∴1Sn是以1为首项、1为公差的等差数列,
∴1Sn=1+(n-1)×1=n,∴Sn=1n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1n-1n-1=1n(1-n),a1=1不符合此式,
∴an=1,n=1,1n(1-n),n≥2,n∈N+.
10.解析 (1)由题意得S3=3a1+3d=3+3d=9,解得d=2,所以数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn=(-1)n·an2=(-1)n·(2n-1)2
=-(2n-1)2,n为奇数,(2n-1)2,n为偶数.
当n为奇数时,Tn=-1+32-52+72-92+…+(2n-3)2-(2n-1)2
=2(1+3+5+7+…+2n-3)-(2n-1)2
=2×(n-1)(1+2n-3)2-(2n-1)2=-2n2+1;
当n为偶数时,Tn=-1+32-52+72-92+…-(2n-3)2+(2n-1)2
=2(1+3+5+7+…+2n-3+2n-1)=2×n(1+2n-1)2=2n2,
∴Tn=-2n2+1,n为奇数,2n2,n为偶数.