高中湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列课后复习题

这是一份高中湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列课后复习题，共7页。

1.(2022湖南五市十校联考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a32+a52+2a2a6=8 100,S4-S2=36,则S2 021=( )
A.32 021-12 020 B.32 020-12
C.32 021-12 D.22 021-12 020
2.(2022辽宁东北育才中学期末)我国古代数学典籍《九章算术》卷七中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙.大、小鼠第一天都前进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,问几天后两鼠相遇?现将墙的厚度改为200尺,则打穿此墙至少需要的天数为(结果取整数)( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.(2021江苏无锡一中期中)已知数列{an}满足a1=12,an+1=12an(n∈N+).设bn=n-2λan(n∈N+),且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.-1,32
C.-∞,32 D.(-1,2)
4.(2020湖北部分重点中学期末联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,其中n∈N+,则下列说法正确的是( )
A.若a3>a1>0,则an>0
B.若a3>a1>0,则Sn>0
C.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则an>0
D.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则Sn>0
5.(多选)(2022山东淄博实验中学月考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=a2=1,an=an-1+2an-2(n≥3),则下列结论正确的是( )
A.数列{an+1+an}为等比数列
B.数列{an+1-2an}为等比数列
C.an=2n+1+(-1)n3
D.S20=23×(410-1)
6.(2022江西上饶三模)数列{an}是以a为首项、q为公比的等比数列,数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),数列{cn}满足cn=3+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若{cn}为等比数列,则 a+q= .
7.(2022重庆西南大学附属中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=12,an+1=n+12nan(n∈N+).
(1)证明数列ann为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n(2-Sn),求数列3n-2bn的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
1.C 设{an}的公比为q,由a32+a52+2a2a6=8 100得a32+a52+2a3a5=8 100,即(a3+a5)2=8 100,
因为an>0,所以a3+a5=90,又因为S4-S2=a3+a4=36,所以a3+a5a3+a4=a3(1+q2)a3(1+q)=9036=52,由q>0得q=3,
带入a3+a4=a1q2+a1q3=36,得a1=1,
所以S2 021=1-32 0211-3=32 021-12,故选C.
2.C 设需要n天才能打穿,则1-2n1-2+1-12n1-12≥200,化简并整理得2n-22n-199≥0,令f(n)=2n-22n-199,则f(7)=27-227-199<0, f(8)=28-228-199>0,
又f(n)连续变化且在[1,+∞)上单调递增,
∴f(n)在(7,8)内存在唯一零点,
∴打穿此墙至少需要8天.故选C.
3.C 由a1=12,an+1=12an(n∈N+)可知数列{an}是首项为12、公比为12的等比数列,
∴an=12×12n-1=12n,
∴bn=n-2λan=(n-2λ)2n.
∵数列{bn}是递增数列,
∴bn+1>bn对于任意的n∈N+恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n对于任意的n∈N+恒成立,
整理得λ∴λ<32,故选C.
4.D 若an=(-2)n-1,则满足a3>a1>0,但an>0,Sn>0不一定成立,故A,B错误.
对于C, 若an=-12n-1,满足a3+a2+a1>a2+a1>0,但an>0不一定成立,故C错误.
对于D,设等比数列{an}的公比为q,
因为a3+a2+a1>a2+a1⇒a3>0⇒a1q2>0⇒a1>0,
a2+a1>0⇒a2>-a1⇒a1q>-a1⇒q>-1,
所以当0<|q|<1时,Sn=a1(1-qn)1-q>0,
当q=1时,Sn=na1>0,
当q>1时,Sn=a1(1-qn)1-q>0.
综上,Sn>0.故D正确.
5.ABD 因为an=an-1+2an-2(n≥3),所以an+an-1=2an-1+2an-2=2(an-1+an-2),又因为a1+a2=2≠0,所以{an+1+an}是首项为2、公比为2的等比数列,A正确;同理an-2an-1=-an-1+2an-2=-(an-1-2an-2)(n≥3),而a2-2a1=-1≠0,所以{an+1-2an}是首项为-1、公比为-1的等比数列,B正确;若an=2n+1+(-1)n3,则a2=23+(-1)23=3,与已知矛盾,C错;由{an+1+an}是等比数列,且公比为2,因此数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,…仍然是等比数列,且公比为4,所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=2×(1-410)1-4=23×(410-1),D正确.故选ABD.
6.答案 2
解析 当q=1时,bn=1+a1+a2+…+an=1+na,
cn=3+b1+b2+…+bn=3+(1+a)+(1+2a)+…+(1+na)=3+n+n(1+n)a2,则c1=4+a,c2=5+3a,c3=6+6a,
因为{cn}为等比数列,所以c1c3=c22,此时无解;
当q≠1时,bn=1+a1+a2+…+an=1+a1-q-aqn1-q,
cn=3+b1+b2+…+bn=3+1+a1-qn-aq(1-q)2+aq(1-q)2·qn,因为{cn}为等比数列,所以1+a1-q=0,3-aq(1-q)2=0,则q=32,a=12,所以a+q=2.
7.解析 (1)因为an+1=n+12nan,所以an+1n+1ann=12,
又因为a11=a1=12,所以数列ann是首项为12、公比为12的等比数列,
从而ann=12×12n-1=12n,故an=n2n.
(2)由(1)可知,
Sn=1×12+2×122+3×123+…+(n-1)×12n-1+n×12n①,
所以12Sn=1×122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1②,
①-②,得12Sn=12+122+123+…+12n-n×12n+1=121-12n1-12-n×12n+1,
化简并整理得Sn=2-n+22n,
所以bn=n(2-Sn)=n(n+2)2n,
故3n-2bn=(3n-2)2nn(n+2)=2n+2n+2-2nn=-2nn-2n+2n+2,
所以Tn=-21-233+222-244+233-255+…+2n-1n-1-2n+1n+1+2nn-2n+2n+2=-21+222-2n+1n+1-2n+2n+2=(3n+4)2n+1(n+1)(n+2)-4.