云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知向量，，则， 已知，则， 设函数若，且，则的最小值为， 随机变量服从正态分布，若，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性求得集合,再求交集即得.
【详解】由可得，因在R上为增函数，故，
则，故.
故选：D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算法则计算即可.
【详解】由，得，所以，
所以.
故选：A.
3. 已知向量，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模.
【详解】根据题意，，
所以.
故选：A
4. 已知数列是等比数列，若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的性质运算即可.
【详解】因为是等比数列，所以，所以.
故选：.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由，
由，
可得，
所以.
故选：C
6. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得.
【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为，
依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为，
因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得，
则圆锥的高为，
圆柱的体积，圆锥的体积，
所以.
故选：B.
7. 已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在上单调递增，有恒成立，参变分离求在区间上最大值，进而求出的范围.
【详解】解：因为函数的导函数为，
并且在上单调递增，所以在上恒成立，
即，则，即恒成立，，
因为在上最大值为，所以.
故选：.
8. 设函数若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得到，将变形为，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，即，又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由正态曲线的对称性和题设条件易得，可知A，B正确，C错误；对于D，只需判断，结合正态曲线的特征即可排除D.
【详解】对于A，由知是1和3的中间值，故，故A正确；
对于B，C，在正态分布中，，故B正确，错误；
对于D，当时，由正态曲线的特征可得，，所以错误.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，则
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D. 若事件满足，则事件相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】根据
根据二项分布知识可判断A，根据正态分布知识可判断B，根据百分位数可判断C，根据条件概率知识可判断D
【详解】因为随机变量服从二项分布，则，故A正确；
因为随机变量服从正态分布，则对称轴为，，故B错误；
这组数据的第70百分位数为，故C错误；
因为，所以，所以事件相互独立.
故选：AD.
11. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则数列等比数列
D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断;C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差数列前项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.
【详解】对于选项A，由，得，
则
，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以的公差，又，
所以.
故答案为：
13. 曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出切点坐标，再利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；
【详解】解：当时，，即切点坐标为
则曲线在处的切线方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
14. 双曲线的左､右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于､两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件确定a，b，c的关系，化简求离心率.
【详解】∵ 为正三角形，
∴ ，又，
∴
∴，
∴
∴ ,（舍去）
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前10项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可；
（2）化简表达式，由裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为．因为，且，
所以，
解得，所以．
【小问2详解】
由（1）得，所以，
所以，
所以．
16. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算卡方后与3.841比较大小即可得；
（2）借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出的取值可能后计算相应的概率即可得其分布列，即可得其期望.
【小问1详解】
，
没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
【小问2详解】
，，人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀，
的取值可能为、、，
，，，
分布列为：
．
17. 如图所示，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，分别在棱，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角大小．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于，取的中点，连接，，由题意可得、，由线面平行的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量为、平面的一个法向量为，利用即可得解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，交于，取的中点，连接，，
由，，
故，且，
故四边形为平行四边形，所以，
由底面是平行四边形可得为中点，
所以，所以
由平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，所以，
由，得，
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
设平面的一个法向量为，
由得，
由，
所以二面角的大小为．
【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题.
18. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案．
（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【小问1详解】
因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
【小问2详解】
根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．
19. 已知函数的图象过点，且.
（1）求，的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】
【小问1详解】
，.
由题意得解得；
【小问2详解】
由（1）得，，
，
令，解得或，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增，
故当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
综上，函数的极大值为，极小值为.
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2