初中数学北师大版（2024）九年级上册1 认识一元二次方程精品第一课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 认识一元二次方程精品第一课时教案，共4页。

第1课时 一元二次方程
教学目标
1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式，正确认识各项及各项的系数.
2.能通过认识一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
3.从生活实际中抽象出数学问题，感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
教学重难点
重点：了解一元二次方程的概念,并能根据一元二次方程的一般形式确定各项系数.
难点：由实际问题向数学问题转化的过程中寻找等量关系，建立方程.
教学过程
导入新课
问题情境1
幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解:设所求的宽度为x m,则中间地毯的宽表示为(5-2x)m,长表示为(8-2x)m, 由题意可列方程(8-2x)(5-2x)＝18，整理得4x2 -26x+22 ＝0.
问题情境2
观察下面等式：102 +112 +122 ＝132 +142.
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程x2 + (x+1)2 + (x+2)2 ＝ (x+3)2 + (x+4)2.化简，得 x2 -8x-20＝0.
问题情境3
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？


解：由题意可知滑动前梯子底端距墙6 m，设梯子底端滑动x m，滑动后梯子顶端距地面7 m，底端距墙(6+x)m, 根据题意，可得方程72＋(x＋6)2 ＝102，整理得 x2 +12x-15＝0.
探究新知
思考:由上面的三个问题,我们可以得到三个方程4x2 -26x+22 ＝0，x2 -8x-20＝0，x2 +12x-15＝0.这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
老师总结：①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 把ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:
①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.
例1：下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3) ax２＋bx＋c＝０
y22+y＝0 (5) 2x2－13x－1＝0 （6）x(2-x)＝0
解：（1）（4）（6）是，（2）（3）（5）不是.（2）含有两个未知数，不满足第二条；（3）a可能为0，不满足第三条；（5）分母中含有未知数，不满足第一条.
例2：关于x的方程（2a-4）x2 -2bx+a＝0, 在a，b满足什么条件时，此方程为一元二次方程？在a，b满足什么条件时，此方程为一元一次方程？
解：若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，则二次项系数不为零，故2a-4 ≠0，解得a≠2，即当a≠2时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程. 若（2a-4）x2-2bx+a＝0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，故2a-4 ＝0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程.
归纳：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.
例3：将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及各项的系数.
解：去括号，得3x2-3x＝5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10＝0.其中二次项是3x2,二次项系数是3；一次项是-8x,一次项系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；（2）系数和项均包含前面的符号.
课堂练习
1.下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A.3x2＝1x B.x（x-1）＝y2
C.2x3-x2＝2 D.（x-3）（x+4）＝9
2.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.6，2，9 B.2，-6，9
C.2，-6，-9 D.-2，6，9
3.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（ ）
A.3x2-4x+2＝0 B.3x2-4x-2＝0
C.3x2+4x+2＝0 D.3x2+4x﹣2＝0
4.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )
A.x(x＋2)＝323 B.x(x-2)＝323
C.x(x＋1)＝323 D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323
5.已知关于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0.
（1）m取何值时，它是一元二次方程？
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
参考答案
1.D 2.C 3.A 4.D
5.解：（1）由m2+1＝2且m＋1≠0，解得m＝1，
故当m＝1时，关于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0是一元二次方程.
（2）当m－2≠0且m＋1＝0时，解得m＝－1.
当m2+1＝1且m＋1+m－2≠0时，解得m＝0.
故当m＝－1或0时，关于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0是一元一次方程.
课堂小结
1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（ a≠0）.
3.判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:
①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.
布置作业
课本习题2.1 知识技能 1，2 问题解决 3
板书设计
1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
1. 一元二次方程的定义：
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（ a≠0）
3.判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:
①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.