初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程一等奖第二课时教案

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第2课时 一元二次方程的解及其估算
教学目标
1.理解一元二次方程解的概念.
2.探索一元二次方程的解或近似解,会用估算的方法求一元二次方程的解或近似解.
3.通过方程解的探索过程，渗透“夹逼”思想，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力.
教学重难点
重点：探索一元二次方程的解或近似解.
难点：用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.
教学过程
导入新课
1.一元二次方程有哪些特点？
①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2,并且二次项的系数不为0.
2.ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
探究新知
1.思考：下面哪些数是方程 x2–4x +3 ＝ 0 的解? -2， 0 ,1,2,3 ,4.
老师总结：1和3是方程的解.
2.猜一猜：一元二次方程的解有多少个？
老师总结：一元二次方程的解可能不止一个.
3.结合上面的问题让学生尝试用自己的语言叙述一元二次方程的解的概念.
在此过程中充分发挥学生的口头表达能力和语言组织能力，教师适时点评进一步归纳出一元二次方程的解的概念，即使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
4.问题解决 在前一节课的问题中，如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

图1 图2
由题意知滑动前梯子底端距墙6 m，设梯子底端滑动x m，可列方程
（x+6）2+72＝102,整理，得x2＋12x－15＝0.
（1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?
（2）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?
（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（4）x的整数部分是几?十分位是几?
先完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2＋12x－15
-15
-8.75
-2
5.25
13
…
得出滑动距离x(m)的大致范围为1＜x＜1.5.
再完成下表：
x
…
1.1
1.2
1.3
1.4
…
x2＋12x－15
…
-0.59
0.84
2.29
3.76
…
得出滑动距离x(m)的大致范围为1.1＜x＜1.2.即x的整数部分是1，十分位是1.
一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解.
估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间，这种求一元二次方程的近似解的方法叫做“夹逼”法.
用“夹逼”方法求一元二次方程的近似解的步骤：
①由x的取值范围排除一部分取值；
②根据具体情况再次进行排除；
③对列出的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
例 已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解.(精确到个位)
解：列表计算：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
x2－2x－4
4
－1
－4
－5
－4
－1
4
所以－2进一步计算：
x
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
x2－2x－4
-0.59
-0.16
0.29
0.76
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2－2x－4
-0.59
-0.16
0.29
0.76
所以x≈－1或x≈3.
总结：求一元二次方程的近似解首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解.
课堂练习
1. 以-2为根的方程是（ ）
A.x2+2x-2＝0 B.x2-x-2＝0
C.x2+x+2＝0 D.x2+x-2＝0
2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是（ ）
A.2 B.-1 C.-2 D.10
3.已知x＝1为方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0)的根，则a+b+c的值是（ ）
A.-2 B.0 C.-1 D.1
4.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.14
5.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是( )
x[来源:学
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3＜x＜3.2 ＜x＜3.24
＜x＜3.25 ＜x＜3.26
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C
课堂小结
1.一元二次方程的解.
2.用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.
布置作业
课本习题2.2 知识技能 1，2 数学理解 3
板书设计
1 认识一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解及其估算
1.一元二次方程解的定义：
2.用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.