初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程获奖第一课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程获奖第一课时教案，共4页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。

第1课时 用公式法解一元二次方程
教学目标
1.通过探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力.
2.使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程，理解并会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况.
3.在探索和应用求根公式的过程中，使学生进一步认识特殊与一般的关系.
教学重难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式并应用.
难点：一元二次方程求根公式的推导.
教学过程
导入新课
回忆巩固
如何用配方法解下列方程：
（1）3x²＋6 x－5＝0； （2）4x²－x－9＝0.
师生活动：（1）找两位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上做.
（2）由学生说出用配方法解一元二次方程的步骤.
探究新知
一、预习新知
利用配方法推导一元二次方程的求根公式.
让学生自主预习课本41~42页，解答下列几个问题.
若给出一个一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你觉得应该如何利用配方法求解？
（1）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)方程的两边同时除以a可得到 .
（2）把上式中的常数项移项可得到 .
（3）如果对上式进行配方，方程两边应加什么式子？这个式子怎样得到？ .
（4）配方后可得 .
（5）思考：对于上式能不能直接进行开平方，为什么？
结论：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 时，它的根是x＝ ，式子 称为求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法.
二、合作探究
提出问题：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨，最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.
移项，得ax2＋bx＝－c，
二次项系数化为1，因为a≠0，
所以方程两边都除以a，得x2＋bax＝－ca，
配方，得
x2＋bax＋b2a2＝－ca＋b2a2，
x＋b2a2＝b2－4ac4a2.
因为a≠0，所以4a2＞0.
当b2－4ac≥0时，
两边开平方并移项整理，得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写成x＝－b±b2－4ac2a.
师生共同总结：一元二次方程求根公式：x＝－b±b2－4ac2a.
归纳总结：对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，就可以求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
问题1：当b2－4ac>0时，方程的两个实数根相等吗？
不相等.
问题2：当b2－4ac＝0时，方程的两个实数根相等吗？
相等.
问题3：当b2－4ac<0 时，方程有实数根吗？
方程没有实数根.
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判断，我们把b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.
巩固练习
不解方程，判断方程根的情况.
(1)16x2＋8x＝－3； (2)4x2＋4x＋1＝0；
(3)x2－7x＋8＝0； (4)x2－7x－18＝0.
解：(1)没有实数根. (2)有两个相等的实数根.
(3)有两个不相等的实数根. (4)有两个不相等的实数根.
教师点拨：将方程化为一般形式，再用判别式判断一元二次方程根的情况.
典型例题
【例1】用公式法解下列方程：
(1)x2－5x－3＝0； (2)3x2－8x＋1＝0； (3)2x(x－1)－7x＝2.
【问题探索】用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求解的关键是什么？
【解】(1)a＝1，b＝－5，c＝－3，
则Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3)＝37>0.
方程有两个不相等的实数根x＝−b±b2−4ac2a＝−(−5)±372×1，
即x1＝5+372，x2＝5−372.
(2)a＝3，b＝－8，c＝1，则Δ＝b2－4ac＝－82－4×3×1＝52>0.
方程有两个不相等的实数根x＝−b±b2−4ac2a＝8±522×3，
即x1＝4+133，x2＝4−133.
(3)原方程整理，得2x2－9x－2＝0.其中a＝2，b＝－9，c＝－2，
则Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0.
方程有两个不相等的实数根x＝−b±b2−4ac2a＝−(−9)±972×2，
即x1＝9+974，x2＝9−974.
【总结】用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；(2)求出Δ＝b2－4ac的值；(3)当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝−b+b2−4ac2a，x2＝−b−b2−4ac2a；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－eq \f(b,2a)；当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
【例2】已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是________.
【问题探索】三角形的三边满足什么关系？怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？
【解析】Δ＝(2c)2－4(a＋b)(a＋b)＝4c2－4(a＋b)2＝4(c＋a＋b)(c－a－b).
∵ a，b，c分别是三角形的三边，
∴ a＋b＞c，∴ c＋a＋b＞0，c－a－b＜0，
∴ Δ＜0，故原方程没有实数根.
【答案】没有实数根
【总结】解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及利用根的判别式“Δ＝b2－4ac”判断方程根的情况.
课堂练习
1.已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，则下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定
2.若在实数范围内定义一种运算“*”，使a *b＝（a+1）2－ab，则方程（x＋2）*5＝0的解是 ( )
A.x＝－2
B.x1＝2，x2＝3
C.x1＝－1＋32，x2＝－1－32
D.x1＝－1＋52，x2＝－1－52
3.方程（m－2）x2 －＝0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A.m>52 B.m≤52且m≠2
C.m≥3 D.m≤3且m≠2
4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )

5.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证:不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.解：（1）∵ 1为原方程的一个根，∴ 1＋a＋a－2＝0，∴ a＝12.
将a＝12代入方程得x2＋12x－32＝0.
解得x1＝1，x2＝－32.
∴ a的值为12，方程的另一根为－32.
（2）证明：对于方程x2＋ax＋a－2＝0，
Δ＝a²－4a＋8＝(a－2)2+4>0.
∴ 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.一元二次方程求根公式：x＝－b±b2－4ac2a，根的判别式Δ＝b2－4ac.
2.一元二次方程根的判别式与根的关系：
b2－4ac的符号
根的情况
b2－4ac＞0
有两个不相等的实数根
b2－4ac＝0
有两个相等的实数根
b2－4ac＜0
没有实数根
布置作业
1.（必做题）课本习题2.5 知识技能 1，2
2.（选做题）课本习题2.5 问题解决 4
板书设计
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
求根公式推导过程：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
移项，得ax2＋bx＝－c，
二次项系数化为1，因为a≠0，
所以方程两边都除以a，得x2＋bax＝－ca，
配方，得
x2＋bax＋b2a2＝－ca＋b2a2，
x＋b2a2＝b2－4ac4a2.
因为a≠0，所以4a2＞0.
当b2－4ac≥0时，
两边开平方并移项整理，得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.