河北省大名县2022_2023学年高二数学上学期第一次月考试卷含部分解析

这是一份河北省大名县2022_2023学年高二数学上学期第一次月考试卷含部分解析，共12页。试卷主要包含了已知，，则等于，“”是“直线与直线相互垂直”的，已知点，，下列命题是真命题的有.等内容，欢迎下载使用。
单选（每题5分，共40分）
1．已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10）B．（-3，19，7）C．44D．23
2．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）.

7．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）

二、多选题（每小题5分，共20分。全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）
9．下列命题是真命题的有（ ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
11．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45° B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当时，的最大值为 D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
14．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则______．
15．已知两圆O：，C：，当两圆相交时，实数a的取值范围是______.
16．已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为__________．
四、解答题（17题10分，其他各题12分，共70分）
17．已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．
18．已知实数满足，求：
(1)的最小值；
(2)的最大值．
19．在如图所示的几何体中，面，面，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
20．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
21．如图，在四棱椎中，已知四边形是梯形，∥，，，是正三角形．
(1)求证：；
(2)当四棱锥体积最大时，求：
①点A到平面的距离；
②平面与平面夹角的余弦值．
22．已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由
参考答案
一、单选题
1．C 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D
7．B 解析：因为直线与直线相互垂直，所以，所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
8．A 解析：设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
二、多选题
9．AD
10．ABC 解析：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，
所以，所以，故A正确；
因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；
设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；
设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；
11．BC 解析：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
12．BC 解析：取BD的中点O，连接，则，
又，可得平面，平面，
所以平面平面，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；
由上可知为的平面角，即，
因为，
所以，
当时，，即，故B正确；
又，当时，，
所以，即的最大值为，故C正确；
∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误．
三、填空题
13．∪
14． 解析：如图所示，连接并延长与相交于点．
点是底面的重心，
，
又，
则
．
15． 解析：由，则，
即圆的圆心，半径，同理圆的圆心，半径，
则，由两圆相交，则，
即，解得.
16． 解析：由题意得，取中点，
则 ，
因为，所以在以为球心的球面上，所以，因为，
所以，所以与的夹角为.
四、解答题
17．(1) (2)或
（1）解：因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为．
（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或．
18．(1) (2)
（1）由题意，圆的标准方程为．令，当直线与圆相切时，取得最值，
则，解得或．所以的最小值为．（2）
令，则表示点到点距离的平方，
因为圆上的点到原点距离最大值为
，所以．
19．（1）由面，面，则，
又，则，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则．
依题意，，，，，
，，则，
，即．
（2）由（1）知：，，，
设面的法向量为，则，取，
设直线和平面所成角为，则．
因此直线和平面所成角的正弦值为.
20．(1). (2). (3).
(1)解：设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为.
(2)解：将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，
则；
(3)解：圆是以为圆心，半径的圆，
圆是以为圆心，半径的圆，
所以①，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．
设为关于x轴的对称点，则，代入①式得：
，当且仅当共线时，取等号．所以的最小值为．
21．（1）如图，取AB的中点E，连接CE，AC．
∵，，
∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，
又，∴四边形AECD是矩形，∴．
∴，∴是等边三角形．
取BC的中点O，连接AO，则．
连接PO，∵，∴，
∵，平面PAO，
∴平面PAO，∵PA平面PAO，∴；
（2）①由(1)知，是等边三角形，∴，
∴梯形ABCD的面积为定值，
故当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大．
∵，∴平面ABCD，∴，
∵OA⊥BC，BC∩PO=O，BC、PO平面PBC，∴平面PBC，
故此时点A到平面PBC的距离等于；
②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由，可得．
∴，．
设平面PAD的一个法向量为，
由得，可取，则．
设平面PAB的法向量为，
则，即，取，则，则．
设平面PAB与平面PAD的夹角为，则．
故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为．
22．（1）；（2）；（3）为定值.
解：（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；
圆方程可整理为，则其圆心，半径，
直线与圆交于两点，圆心到直线距离，
即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设，
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，
则直线，可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
，，
，
为定值.