湖南省益阳市六校2022_2023学年高二数学上学期期末联考试题含解析

这是一份湖南省益阳市六校2022_2023学年高二数学上学期期末联考试题含解析，共21页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 已知F1，F2分别为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
（选择性必修1+选择性必修2数列部分）
一、选择题（共40分）
1. 已知向量，则它们的位置关系是（）
A. ∥，∥B. ，
C. ，∥D. ∥，
【答案】D
【解析】
【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.
【详解】由题可知：得，
故选：D.
2. 在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设平面的一个法向量为，利用，求出、的值，可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可.
【详解】，，设平面的一个法向量为，
由则，解得，．
又，因此，平面的一个法向量为.
故选：A.
【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，，则（）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．
【详解】由题意，，
所以，．
故选：D．
4. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第个图形的边长为，则数列的通项公式为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察得到从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项写出即可.
【详解】由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以为公比的等比数列，所以第个图形的边长为=.
故选：D.
5. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
6. 已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.
【详解】设，则满足.故 .故.
又点在圆上.故.
故选:C
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.
7. 已知双曲线C：，，分别是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于，的齐次方程，即可求出离心率
【详解】设，则，，，，因为，所以，故，
在中，由余弦定理可知，整理得，即，所以.
故选：B
8. 已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面几何和内心的性质，可知的横坐标都是，得到轴，设直线的倾斜角为，和分别表示和，根据，将表示为的三角函数求最值.
【详解】内切圆与各边相切于点，
有的横坐标相等，，，
，
在双曲线上，即是双曲线的顶点，
与双曲线相切于顶点（如图）
的横坐标都是，
设直线的倾斜角为 ，那么 ,
中，
双曲线 ， ，
可得 ，
，
的范围是
故选D.
【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定的横坐标都是，2.设倾斜角为，将表示为的三角函数.
二、多选题（共20分）
9. 已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（）
A. B.
C. 是平面的一个法向量D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.
【详解】由题意，向量，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B正确；
对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；
对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.
故选：ABC
10. 数列{an}的前n项和为Sn，，则有（）
A. Sn＝3n－1B. {Sn}为等比数列
C. an＝2·3n－1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.
【详解】依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
11. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）
A. 的方程为B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；联立方程组判断．
【详解】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故选：．
12. 定义点到直线:的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是（）
A. 若，则直线与直线平行
B. 若，，则直线与直线垂直
C. 若，则直线与直线垂直
D. 若，则直线与直线相交
【答案】BCD
【解析】
【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可
【详解】设, ,
选项A, 若, 则, 则点在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线与直线平行, 所以正确;
选项B, 点在直线的两侧且到直线的距离相等, 直线不一定与垂直, 所以错误;
选项C, 若, 满足, 即,
则点都在直线上, 所以此时直线与直线重合, 所以错误;
选项D, 若, 即,
所以点分别位于直线的两侧或在直线上,
所以直线与直线相交或重合, 所以错误.
故选：BCD
三、填空题（共20分）
13. 如下图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意推导出的坐标,从而得出的坐标,进而得出结论.
【详解】因为的坐标为,,则,
所以,
因此,
故答案为:.
【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础题.
14. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
15. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项.
【详解】设等差数列的公差为，则，
在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为，
故新数列的首项为，故通项公式为，
故.
故答案为：31
16. 设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由是锐角得到对任意恒成立.令，则对任意恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围.
【详解】设，可知，且，
所以，，
因为是锐角，所以，
即，
整理得，
等价于对任意恒成立；
令，则对任意恒成立；
因为的对称轴为，故分类讨论如下：
（1），即时，
，
所以；
（2），即时，
应有，
得；
综上所述：.
【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题（共70分）
17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）试判断直线与是否能够垂直．若能垂直，求的长；若不能垂直，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）不能垂直，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用，推出平面，即可证明面面垂直；
（2）建系，写出的坐标，设，利用直线与能垂直，数量积为零，求出，，不能垂直.
【小问1详解】
因为在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点．
所以，，
因为，平面
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
设，
则，
若直线与能垂直，则，
解得，
因为，
所以直线与不能垂直．
18. 设数列满足.
（1）求和的值.
（2）求数列的通项公式.
（3）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，逐项计算，即可求解；
（2）由，结合叠加法，利用等比数列的求和公式，即可求解；
（3）根据，结合乘公比错位相减求和，即可求解.
【详解】（1）当时，，当时，，
所以.
（2）由数列满足.
可得，，，，，
相加可得，
所以，
所以数列的通项公式为.
（3）由，
可得，
则，
两式相减，可得，
，
所以.
19. 已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式，若，是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由，，结合题设条件，即可求解；
（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.
小问1详解】
∵数列的通项公式，
∴，
设各项都为正数的等比数列的公比为，则，
∵，∴，①
∵是和的等比中项，∴，解得，②
由①②得，解得或（舍去），
∴；
【小问2详解】
当为偶数时，
，
设，③
则，④
③减④，得，
∴，∴，
当为奇数，且时，
，
经检验，符合上式，
∴
20. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【解析】
【分析】（1）直线方程化y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
21. 已知圆C过点 ，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程．
（2）设直线与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设圆的方程，由题意列出方程组，解方程组求得答案；
（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.
【小问1详解】
设圆C的方程为，
则有，解得，
所以圆C的方程为，
化为标准方程，得．
【小问2详解】
假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，
故圆心必在直线l上，所以直线l的斜率，
又，所以．
将与圆C的方程联立，
整理得，由于直线交圆C于A，B两点，
故，解得，与矛盾，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
22. 已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.
（1）求椭圆C方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再根据离心率求出，最后根据，求出，即可求出椭圆方程；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线的方程，即可求出点坐标，再表示出、，即可得到，即、、三点共线，即可得证；
【小问1详解】
解：由长轴的两个端点分别为，，可得，
由离心率为，可得，所以，
又，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
小问2详解】
解：设直线l的方程为，
由得
设，，则，
所以，直线的方程为，所以
所以，
所以
，即，
所以、、三点共线，所以；