广东省四校2023届高三数学学期第一次联考试卷

这是一份广东省四校2023届高三数学学期第一次联考试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合A={x|xx-2≤0}，集合B={x|x2-3x+2≤0}，则A∩B=( )
A. {x|-2≤x≤1}B. {x|1≤x≤2}
C. {x|0≤x≤2}D. {x|1≤x0，b>0的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B，且ON=2BM，则双曲线C的离心率为( )
A. 23B. 5C. 52D. 2
二．选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，⋯，(x10,y10).则下列结论正确的是( )
A. 若其经验回归方程为y=0.8x+1，当解释变量 x 每增加 1个单位，预报变量 y一定增加 0.8个单位
B. 若其经验回归方程y=bx+a必过点(3，2.25)，则x1+x2+x3+⋯+x10=y1+y2+y3+⋯y10+7.5
C. 若根据这组数据得到样本相关系数|r|≈0.98，则说明样本数据的线性相关程度较强
D. 若用相关指数R2来刻画回归效果，回归模型1的相关指数R12=0.32，回归模型2的相关指数R22=0.68，则模型1的拟合效果更好
10.为了得到函数y=ln(ex)的图象，可将函数y=lnx的图象( )
A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍B.向上平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e倍D.向下平移一个单位长度
11.已知点O为坐标原点，直线y=x-1与抛物线y2=4x相交于A、B两点，则( )
A.|AB|=8B.OA⊥OB
C.∆AOB的面积为22D.线段AB的中点到y轴的距离为2
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心，F是棱C1D1的中点，若点P为线段BD1上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是( )
A.PE∙PF的最小值为148
B.若BP=2PD1，则平面PAC截正方体所得的面积为98
C.若D1N与AB所成的角为π4，则N点的轨迹为双曲线的一部分
D.若正方体绕BD1旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是2π3
填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知函数f(x)=xlnx-x，则函数f(x)的零点个数为___个.
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b-c=14a，2sinB=3sinC，则csA的值为_________.
Aa
Da
Ba
Ca
Fa
E
15. Sn是公差为2的等差数列{an}的前n项和，若数列{Sn+1}也是等差数列，则a1=______.
16. 在Rt ∆ABC中，已知∠A=60，∠C=90，AC=4，
则∆ABC的内接正∆DEF边长的最小值为_______.
四．解答题: 本题共6小题，共 70 分．
17.（10分）
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n+3.
（1）求数列an的通项公式；
（2）保持数列an中各项先后顺序不变，在ak与ak+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记bn的前项和为Tn，求T50的值.
18.（12分）
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，若ABAC=DBDC .
（1）证明：AD平分∠BAC；
（2）若∆ABC为锐角三角形，AB=7，AC=8，∠C=π3，求AD的长.
19.（12分）
每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．
频率组距
频率组距
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关?
（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，求X的分布列及数学期望;
（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为Y，求Y的方差．
参考公式：，其中．
20.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2CD=2，AD=3，PA=6，侧面PBC为等边三角形.
（1）求证：平面PBC平面ABCD；
（2）在棱PD上是否存在点Q，使得二面角A-BC-Q的大小为π4？若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知椭圆x24+y2=1的左右顶点为A、B，直线l: x=1.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.
（1）记直线AM,AN的斜率分别为k1、k2，求k1∙k2的值;
（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.
22.（12分）
已知f(x)=ex-ax．
（1）求f(x)的单调区间;
（2）当a=e时（e为自然对数的底数），若对于∀x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥t(x2-x-xlnx)恒成立，求实数t的取值范围.睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
2023 届广东省四校高三第一次联考
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. BC 10. BC 11. AC 12. BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 1 14. -1415.-1或316. 4217
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分
17.(10分）
（1）当时，即 ---------------------------------------1分
当， ------------------------------3分
显然不符合上式，所以数列的通项公式为 ---------------------5分
（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为
当时，，当时，
所以，且， --------------------------------------- 8分
---------------------------------------10分
18.（12分）
解：（1）在三角形ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=DBsin∠BAD，
在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD， ---------------------------------------2分
因为∠ADB与∠ADC互补，所以sin∠ADB=sin∠ADC，
由题意得ABAC=DBDC，所以sin∠CAD=sin∠BAD，即∠CAD=∠BAD，
所以AD平分∠BAC. 得证； ---------------------------------5分
（2）∆ABC中，由余弦定理csC=a2+b2-c22ab得：csπ3=a2+82- 722×8a
解得a=3或a=5---------------------------------------7分
若a=3,则有：a2+c2b2,则B为锐角，合题意，所以a=5
由（1）知：ABAC=DBDC=78 ,所以BD=73，DC=83 ---------------------------------------10分
在∆ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2-2AC∙CD∙csπ3
解得：AD=837
所以AD=837 ---------------------------------------12分
19.（12分）
解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为25；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,
则“睡眠不足”的人数为45；
列联表如下：
-----------------------------------------------------------------------------2分
零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关
因为χ2=200×(75×45-55×25)2130×100×70×100≈8.791>6.635 ---------------------------------------4分
根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. ---------------------------------------5分
（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-----------------------------------6分
从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.
，，；
所以分布列为
---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）
数学期望 --------------------------------------10分
（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为75100=34，
由题意知：Y~B(3，34) --------------------------------------11分
D(Y)=3×34×14 = 916---------------------------------------12分
20.（12分）
解：（1）取BC中点E，连接AE、PE，连接AC.
∆PCB为等边三角形，∴PEBC， ----------------------------1分
ADC=90°，AD=3，DC=1
∴AC=2
又AB//CD，∴CAB=60°，
又AC=AB，
∴∆ACB为等边三角形，
BC=2，AEBC且AE=3
PE=3 ---------------------------------------3分
PAE中PA2=PE2+AE2
PEA=90°，PEAE，
又AE面ABC，BC面ABCD，且AEBC=E
PE面ABCD， ---------------------------------------4分
又PE面PCB，
面PCB面ABCD. ---------------------------------------5分
（2）由（1），以点E为坐标原点，建系如图，则E(0,0,0)，A(3,0,0），B(0,1,0)，C(0,-1,0)，P(0,0,3)，D(32,-32,0)，
则PD=(32,-32,-3) --------------------------------------------------6分
假设存在点Q，使得二面角A-BC-Q的大小为π4，则设
PQ=λPD=(32λ,-32λ,-3λ)，λ∈[0,1]， --------------------------7分
则Q(32λ,-32λ,3(1-λ))，
显然面ABC的一个法向量为n1=(0,0,1)，--------------------------------8分
又∵CB=(0,2,0)，CQ=(32λ,1-32λ,3(1-λ))，
设面BCQ的一个法向量为n2=(x,y,z)，则CB∙n2=0CQ∙n2=0，
即y=032λx+(1-32λ)y+3(1-λ)z=0
解得n2=(2-2λ,0,1)，--------------------------------------------10分
由题 |cs=22|，∴1(2-2λ)2+1=22，
解得λ=23或者λ=2（舍） --------------------------------------------------11分
则PQPD=23 . -----------------------------------------------12分
(12分）
(1)由已知可得MN为圆G的直径，则
记M(1,m),N(1,n)，则mn=-1
kAM∙kAN=m3∙n3=-19---------------4分
(2)kAM∙kAN=kAP∙kAQ=-19 ----------5分
由已知直线PQ存在斜率，记其方程为
代入有
记，则当时有-------------7分
，代入（1）式化简有
当过定点（1013，0）
当时，，过定点A（-2，0），舍去-------------------------11分
综上有，直线过定点（1013，0）-------------------------------------------------------------12分
（12分)
解：f'(x)=ex-a
(1)当a≤0时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增 --------------------------1分
当a>0时，由f'(x)=ex-a=0，x=lna
当x0，f(x)在（lna，+∞）上单调递增 -----------------------------3分
综上有：当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在（-∞，lna）上单调递减，f(x)在（lna，+∞）上单调递增.----4分
（2）由已知f(x)=ex-ex,
因为对于∀x∈(0,+∞)，ex-ex≥t(x2-x-xlnx)
所以exx-e≥t(x-1-lnx)
ex-lnx-e≥t(x-1-lnx)
设m=x-lnx∈[1,+∞）,则em-e≥t(m-1),m∈[1,+∞）----------------------7分
em-tm_+t-e≥0,m∈[1,+∞）
记φ(x)=ex-tx+t-e, x∈[1,+∞）
φ'(x)=ex-t
当t≤e时，φ'(x)≥0，φ(x)在[1,+∞)上单调递增;φ(x)≥φ(1)=0恒成立.---------9分
当t>e时，φ'(x)=0，x=lnt∈(1,+∞),
φ(x)在(1,lnt)上单调递减，则φ(lnt)