湖南省衡阳市2021_2022学年高一数学上学期期末考试试卷

这是一份湖南省衡阳市2021_2022学年高一数学上学期期末考试试卷，共9页。试卷主要包含了 设，则， 若，则， 已知集合，则， 若，设，，，则， 已知函数，若且，则的最小值为， 设函数，则满足的的取值范围是， 已知、、，若，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】A
2. “为奇数”是“函数为奇函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
3. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
5. 若，设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
7. 已知函数，若且，则的最小值为（）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
8. 设函数，则满足的的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知角的终边在直线上，则的值可能是（）
A. B. C. D. 1
【答案】BC
10. 已知、、，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】BD
11. 若函数，则（）
A. 函数为偶函数B. 函数在定义域上单调递增
C. 函数的值域为D.
【答案】ACD
12. 若函数的最小值为，则的值可为（）
A. B. C. D.
【答案】BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的最小正周期是_____.
【答案】
14. 若方程的解在区间上，则整数______．
【答案】2
15. ，使得关于不等式成立，则的最小值是______．
【答案】
16. 函数，若，则______，______．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求A的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）126（2）
【小问1】
因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为；
【小问2】
因为，所以，
因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在常数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）在上递减，证明见解析；
（2）存在使得为奇函数.
【小问1】
在上递减，证明如下：
在内任取，，使，
则．
由于，知：，则，，，
所以，即，
故上递减.
【小问2】
函数的定义域为，若存在常数使为奇函数，
所以由，可得，解得，
因此存在，使得为奇函数．
19. 如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形，且其面积为．（注：靠墙的部分不用彩带）
（1）要使围成四个矩形的彩带总长不超过m，求的取值范围；
（2）当围成四个矩形的彩带总长最小时，求和的值，并求彩带总长的最小值．
【答案】（1）；
（2）；；最小值为
【小问1】
设长为m，长为m，由题意得，则四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，又，可解得或，所以得的范围为，即的取值范围为
【小问2】
四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，此时，则的长为，的长为，彩带总长的最小值为.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求使成立的的取值集合．
【答案】（1）；
（2）.
【小问1】
解：
，
由，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
【小问2】
解：由可得，可得，
解得，
所以，使成立的的取值集合为.
21. 如图所示，已知直线，，并交于点，交于点，是上一定点，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，设．
（1）若，试比较△与△面积的大小；
（2）若，，求△与△面积之和的最小值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【小问1】
由，，则，又，
所以△、△中，即，，
所以△△，相似比为，
当，即时，△面积比△大；
当，即时，△、△面积相等；
当，即时，△面积比△小；
【小问2】
由题设，，由（1）知：，，
所以，又，
故，当且仅当时等号成立，
所以△与△面积之和的最小值为.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1】
解：因为为偶函数.
所以，即.
所以，解得.
所以
【小问2】
解：由已知，方程有且只有一个解.
所以有且只有一个解，且.
整理得.
令，则方程在有且只有一个实根.
当时，，满足题意.
当时，设方程对应的二次函数为.
抛物线开口向上，对称轴，且，此时方程必有一个正实数根，满足.
当时，抛物线开口向下，对称轴，且，故，解得或.
综上，实数的取值范围是.