新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第03讲 不等式及性质（2份打包，原卷版+解析版）

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基本不等式
重要不等式 SKIPIF 1 < 0
最大（小）值问题
基本不等式 SKIPIF 1 < 0
基本不等式的应用
扩充不等式
绝对值不等式
柯西不等式
【基础知识全通关】
知识点01：两个重要不等式及几何意义
1．重要不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”）.
2．基本不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 是正数，那么 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”）.
【要点诠释】
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求 SKIPIF 1 < 0 都是实数，而后者要求 SKIPIF 1 < 0 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号”。
（3） SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 .
3.如图， SKIPIF 1 < 0 是圆的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交圆于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
易证 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
这个圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，它大于或等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 与圆心重合，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
【要点诠释】
1.在数学中，我们称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的算术平均数，称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把 SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等差中项， SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点02：用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点03：几个常见的不等式
1） SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当a=b时取“=”号。
2） SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当a=b 时取“=”号。
3） SKIPIF 1 < 0 ；特别地： SKIPIF 1 < 0 ；
4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5） SKIPIF 1 < 0 ；
6） SKIPIF 1 < 0 ；
7） SKIPIF 1 < 0
知识点04：绝对值不等式的性质
1. SKIPIF 1 < 0 ；
2. SKIPIF 1 < 0 ；
知识点05：柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
设 SKIPIF 1 < 0 是两个向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 是零向量或存在实数k，使 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
（2）代数形式：
= 1 \* GB3 ①若a、b、c、d都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
= 2 \* GB3 ②若a、b、c、d都是正实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
= 3 \* GB3 ③若a、b、c、d都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
【要点诠释】
柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（3）三角形式：
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是实数，则
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
【拓展】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－bb,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)b，则eq \r(n,a)与eq \r(n,b)的大小关系如何？
提示 如果a>b>0，则eq \r(n,a)>eq \r(n,b).
2．非零实数a，b，如果a>b，则eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的大小关系如何？
提示 如果ab>0且a>b，则eq \f(1,a)0>b，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b).
【考点研习一点通】
考点01：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最值问题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【解析】
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
【答案】D
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及相应的 SKIPIF 1 < 0 值.
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 , 又 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号
∴ 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(5) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(2) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(3) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(4) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(5) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】方法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法二：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法三：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
考点02：利用基本不等式证明不等式
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中至少有一个小于等于 SKIPIF 1 < 0 .
证明：假设 SKIPIF 1 < 0 则有
SKIPIF 1 < 0 〔＊〕
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与〔＊〕矛盾
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数，求证： SKIPIF 1 < 0
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数，求证： SKIPIF 1 < 0 。
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立）
故 SKIPIF 1 < 0 .
考点03：利用绝对值不等式求最值
3. 不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ；
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的最值
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为6.
【变式2】不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则常数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ；
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
考点04：利用柯西不等式求最值
4. 设 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴根据柯西不等式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
此时， SKIPIF 1 < 0
【变式1】求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0，
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
即 SKIPIF 1 < 0 时函数取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【考点易错】
易错题型01 比较两个数(式)的大小
1 (1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M0，所以M>N.
(2)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．ab－c，故选项C正确；若c>d>0，则eq \f(1,d)>eq \f(1,c)>0，若a>b>0，则eq \f(a,d)>eq \f(b,c)，故选项D错误．
(2)(多选)若eq \f(1,a)ln b2
【答案】 AC
【解析】 由eq \f(1,a)a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C.eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b) D．ac3eq \f(1,b)；
因为eq \f(a＋2,b＋2)－eq \f(a,b)＝eq \f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b)；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立．
易错题型03 不等式性质的综合应用
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