新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第09讲 函数的奇偶性与周期性(2份打包,原卷版+解析版)
展开1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【考点研习一点通】
考点01 :函数奇偶性的判断
【典例1】【多选题】(2021·浙江高一期末)下列函数中是偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 为增函数的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例2】【多选题】(2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域都是R,且 SKIPIF 1 < 0 是奇函数, SKIPIF 1 < 0 是偶函数,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 是奇函数B. SKIPIF 1 < 0 是奇函数
C. SKIPIF 1 < 0 是偶函数D. SKIPIF 1 < 0 是偶函数
考点02:函数奇偶性的应用
【典例3】(2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例4】设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=,
则当x<0时,f(x)= ( )
A.B.
C.D.
【典例5】(2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模(理))已知实数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
考点03:函数周期性及其应用
【典例6】(2021·山东青岛市·高三二模)已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象连续不断,有下列四个命题:
甲: SKIPIF 1 < 0 是奇函数;
乙: SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称;
丙: SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减;
丁:函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2.
如果只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
【典例7】(2021·广德市实验中学高三月考(文))已知对 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例8】(2022·四川省石室中学高三一模(文))已知是定义域为的奇函数,满足,若,则( )
A.B.C.D.
考点04:函数性质的综合应用
【典例9】(2022·山西省高三其他(文))已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增,若实数a满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【典例10】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 、公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例11】【多选题】(2022·山东省高三其他)已知偶函数满足,则下列说法正确的是( ).
A.函数是以2为周期的周期函数B.函数是以4为周期的周期函数
C.函数为奇函数D.函数为偶函数
【典例12】(2021·湖南高三三模)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D,对D内的任意 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,恒有 SKIPIF 1 < 0 ,则称 SKIPIF 1 < 0 为非减函数.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的非减函数,且满足:①对任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .②对任意 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的值为________.
【典例13】(2022·重庆高三其他(文))定义在R上的奇函数满足:,且当时,,若,则实数m的值为( )
A.2B.1C.0D.-1
【考点易错】
易错01 :函数奇偶性的判断
1.(2022·天津耀华中学高三月考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.B.
C.D.
2.【多选题】(2021·全国高一课时练习)设f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增,f(-2)=0,则下列区间中使得xf(x)<0的有( )
A.(-1,1)B.(0,2)
C.(-2,0)D.(2,4)
易错02:函数奇偶性的应用
3.(2022·广东高考模拟(文))已知是定义在上的奇函数,满足,且,则( )
A.0B.C.D.
4.(2022·山东高考模拟(文))已知定义在上的奇函数满足,当时,,则( )
A.2022B.0C.1D.-1
易错03:函数周期性及其应用
5.(2022·山西省高三其他(文))已知函数,,若,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.(2022·梅州市梅县区松口中学高三月考(理))设是定义域为的偶函数,且在单调递减,则( )
A.
B.
C.
D.
易错04:函数性质的综合应用
7.(2022·江西省高三其他(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数,且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为____.
【巩固提升】
1.(2021·安徽高三三模(文))若把定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象沿x轴左右平移后,可以得到关于原点对称的图象,也可以得到关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的图象,则关于函数 SKIPIF 1 < 0 的性质叙述一定正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 是周期函数D. SKIPIF 1 < 0 存在单调递增区间
2.(2021·海南海口市·高三其他模拟)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2021·陕西高三三模(理))已知函数f(x)为R上的奇函数,且 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则f(101)+f(105)的值为( )
A.3B.2C.1D.0
4.(2021·广东高三其他模拟)下列函数中,既是奇函数又在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5.【多选题】(2021·全国高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数, SKIPIF 1 < 0 是奇函数,并且当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则下列选项正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数B. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数D. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0
6.【多选题】(2021·淮北市树人高级中学高一期末)对于定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 ,下列说法正确的是( )
A.若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,则 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
B.若对 SKIPIF 1 < 0 ,有 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
C.若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数
D.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
7.【多选题】(2021·浙江高一期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
A.函数 SKIPIF 1 < 0 有2个零点B.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
C.不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0
8.【多选题】(2021·广东高三二模)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都为奇函数,则下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数B. SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数
C. SKIPIF 1 < 0 为奇函数D. SKIPIF 1 < 0 为奇函数
9.【多选题】(2021·湖南高三月考)函数 SKIPIF 1 < 0 满足以下条件:① SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ,且其图象是一条连续不断的曲线;② SKIPIF 1 < 0 是偶函数;③ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是单调函数;④ SKIPIF 1 < 0 恰有2个零点.则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式可以是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
10.设函数 SKIPIF 1 < 0 ,则f(x)( )
A.是偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B.是奇函数,且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C.是偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D.是奇函数,且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
11.(2018年理全国卷II)已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 ( )
A. B. 0 C. 2 D. 50
12.(2022·全国高考真题(文))设是定义域为的偶函数,且在单调递减,则( )
A.
B.
C.
D.
13.(2021·全国高三二模(理))已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数,且其图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 __________.
14.已知是奇函数,且当时,.若,则__________.
15.(2021·黑龙江大庆市·高三二模(理))定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点个数为___________.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
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