新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第11讲 指数与对数的运算（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点01 根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点03 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
【考点研习一点通】
考点01 指数幂的运算
1.化简eq \f(5,6)aeq \s\up6(\f(1,3))·b－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3a－\f(1,2)b－1))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq \s\up6(\f(1,2))(a，b>0)
【解析】原式＝－eq \f(5,2)a－eq \f(1,6)b－3÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq \s\up6(\f(1,2))
＝－eq \f(5,4)a－eq \f(1,6)b－3÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,3))b－\f(3,2)))＝－eq \f(5,4)a－eq \f(1,2)·b－eq \f(3,2)
＝－eq \f(5,4)·eq \f(1,\r(ab3))＝－eq \f(5\r(ab),4ab2).
【答案】eq \f(5\r(ab),4ab2).
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1D．(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)，故D正确。
考点02 比较指数式的大小
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a