新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第18讲 利用导数研究函数的单调性（2份打包，原卷版+解析版）

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一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数 SKIPIF 1 < 0 在某个区间是增函数或减函数，那么就说 SKIPIF 1 < 0 在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示。考虑到曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线的斜率就是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数 SKIPIF 1 < 0 在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为增函数；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为减函数；
③若恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在这一区间上为常函数.
反之，若 SKIPIF 1 < 0 在某区间上单调递增，则在该区间上有 SKIPIF 1 < 0 恒成立（但不恒等于0）；若 SKIPIF 1 < 0 在某区间上单调递减，则在该区间上有 SKIPIF 1 < 0 恒成立（但不恒等于0）．
【微点拨】
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上 SKIPIF 1 < 0 ，即切线斜率为正时，函数 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为增函数；当在某区间上 SKIPIF 1 < 0 ，即切线斜率为负时，函数 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使 SKIPIF 1 < 0 ，在其余点恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为增函数；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. SKIPIF 1 < 0 在某区间上为增函数 SKIPIF 1 < 0 在该区间 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在某区间上为减函数 SKIPIF 1 < 0 在该区间 SKIPIF 1 < 0 。
在区间(a,b)内， SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）是 SKIPIF 1 < 0 在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如： SKIPIF 1 < 0 而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有 SKIPIF 1 < 0 ，这个函数 SKIPIF 1 < 0 在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内为常数函数。
【微点拨】
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间（a，b）内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 。
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。
三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）求导数 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域内解不等式 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）确定 SKIPIF 1 < 0 的单调区间。或者：
令 SKIPIF 1 < 0 ，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即 SKIPIF 1 < 0 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 SKIPIF 1 < 0 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内 SKIPIF 1 < 0 的符号。
【微点拨】
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【考点研习一点通】
考点一：求函数的单调区间
例1、确定函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
【变式1-1】确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
【变式1-2】求下列函数的单调区间：
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
【变式1-3】 已知函数，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间并说明其单调性。
【变式1-4】求函数 SKIPIF 1 < 0 （a∈R）的单调区间。
考点二：判断、证明函数的单调性
例2．当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：函数 SKIPIF 1 < 0 是单调递减函数.
【变式2-1】当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：函数 SKIPIF 1 < 0 是单调递减函数.
【变式2-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 , 讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
【变式2-3】设 SKIPIF 1 < 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
【变式2-4】已知函数， SKIPIF 1 < 0 , a＞0 ，w讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
考点三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例3． 若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【变式3-1】 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，求a的取值范围。
【变式3-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【变式3-3】设 SKIPIF 1 < 0 恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【变式3-4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【考点易错】
1. 若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在单调递增区间，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2. 已知函数f(x)＝x2＋eq \f(a,x)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
3.已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B． (0， 3)
C．(1，4) D． (2，＋∞)
5. 若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
6.已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
7.已知向量a=（ SKIPIF 1 < 0 ，x+1），b=（1―x，t），若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【巩固提升】
1.设函数f＇(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(－1)=0，当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．(－∞,－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1,+∞)
C．(－∞,－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1,+∞)
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．（ SKIPIF 1 < 0 ，e）
3. 设 SKIPIF 1 < 0 在（0，+∞）内单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R， SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 在R上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 且最大值为1？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的所有值；若不存在，说明理由.
7. 设函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）设 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的零点，其中 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ．
8.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ SKIPIF 1 < 0 x3+1，求a的取值范围.
9. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
10. 已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然对数的底数，实数a是常数．
(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．