新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式（2份打包，原卷版+解析版）

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同角三角函数基本关系式
诱导公式
同角三角函数基本关系式和诱导公 式
【基础知识全通关】
1、同角三角函数基本关系式
1．平方关系： SKIPIF 1 < 0 .
2．商数关系： SKIPIF 1 < 0 .
3．倒数关系： SKIPIF 1 < 0
注意：
①同角三角函数的基本关系主要用于：
已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值
证明三角恒等式
（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
2、诱导公式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
注意：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇变”是指所涉及的轴上角为 SKIPIF 1 < 0 的奇数倍时（包括4组： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为 SKIPIF 1 < 0 的偶数倍时（包括5组： SKIPIF 1 < 0 ）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
SKIPIF 1 < 0
【考点研习一点通】
考点01同角三角函数基本关系式及诱导公式
1. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】方法一：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
方法二：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由图形可以知道： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【总结】①利用公式： SKIPIF 1 < 0 求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
【变式1-1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
考点02三角函数式的求值、化简与证明
2、已知sinα＋2csα＝0，则2sinαcsα－cs2α的值是______________．
【答案】－1
【解析】由已知可得tanα＝－2
SKIPIF 1 < 0
故答案为：－1
【总结】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题可用“1”代换，如 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-1】已知角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 上终边上一点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-2】化简 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【变式2-3】证明 SKIPIF 1 < 0
【解析】分析法：要证 SKIPIF 1 < 0 成立，
只要证 SKIPIF 1 < 0 成立
只要证 SKIPIF 1 < 0 成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
考点03三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想
3、已知 SKIPIF 1 < 0 ，求下列各式的值：
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】方法一：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
原式 SKIPIF 1 < 0 .
原式 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
原式 SKIPIF 1 < 0 .
原式 SKIPIF 1 < 0 .
【总结】
已知 SKIPIF 1 < 0 的条件下，求关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：一定是关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可以用 SKIPIF 1 < 0 除之，这样可以将被求式化为关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，可整体代入 SKIPIF 1 < 0 ，从而完成被求式的求值运算.
注意 SKIPIF 1 < 0 的应用.
【变式3-1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
方法一：由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
方法二：由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【总结】对于 SKIPIF 1 < 0 这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
【考点易错】
1、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( SKIPIF 1 < 0 Day)．历史上，求圆周率 SKIPIF 1 < 0 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 SKIPIF 1 < 0 充分大时，计算单位圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长和外切正 SKIPIF 1 < 0 边形(各边均与圆相切的正 SKIPIF 1 < 0 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 SKIPIF 1 < 0 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， SKIPIF 1 < 0 的近似值的表达式是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】单位圆内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的每条边所对应的圆周角为 SKIPIF 1 < 0 ，每条边长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，单位圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，单位圆的外切正 SKIPIF 1 < 0 边形的每条边长为 SKIPIF 1 < 0 ，其周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率 SKIPIF 1 < 0 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 SKIPIF 1 < 0 边形和外切正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
2、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
故答案 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
3、若函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，则常数 SKIPIF 1 < 0 的一个取值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 均可)
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故可取 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 均可).
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
4、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______， SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)，eq \r(3)csA＝－eq \r(2)cs(π－B)，求△ABC的三个内角．
【解析】 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinA＝\r(2)sinB，①，,\r(3)csA＝\r(2cs)B，②))
①2＋②2得2cs2A＝1，即csA＝±eq \f(\r(2),2).
(1)当csA＝eq \f(\r(2),2)时，csB＝eq \f(\r(3),2)，
又A、B是三角形的内角，∴A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，
∴C＝π－(A＋B)＝eq \f(7,12)π.
(2)当csA＝－eq \f(\r(2),2)时，csB＝－eq \f(\r(3),2).
又A、B是三角形的内角，
∴A＝eq \f(3,4)π，B＝eq \f(5,6)π，不合题意．
综上知，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7,12)π.
6、、已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和csθ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sinθ－csθ)＋eq \f(csθ,1－tanθ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解析】 (1)原式＝eq \f(sin2θ,sinθ－csθ)＋eq \f(csθ,1－\f(sinθ,csθ))＝
eq \f(sin2θ,sinθ－csθ)＋eq \f(cs2θ,csθ－sinθ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sinθ－csθ)＝sinθ＋csθ.
由条件知sinθ＋csθ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，故eq \f(sin2θ,sinθ－csθ)＋eq \f(csθ,1－tanθ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sinθ＋csθ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sinθcsθ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sinθcsθ＝(sinθ＋csθ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＋csθ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sinθcsθ＝\f(\r(3),4)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,csθ＝\f(1,2)))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(1,2)，,csθ＝\f(\r(3),2).))又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).
【巩固提升】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而有： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3、已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
又 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
4、. 若sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则cs(2π-α)=( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】∵sin SKIPIF 1 < 0 =cs α=- SKIPIF 1 < 0 ,∴cs(2π-α)=cs α=- SKIPIF 1 < 0 .故选A.
5、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，由诱导公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
6、已知2tanθ–tan(θ+ SKIPIF 1 < 0 )=7，则tanθ=
A．–2B．–1
C．1D．2
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
7、 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选B。
8、sin 600°＋tan 240°的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】：C
【解析】：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°
＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)．
9、角 SKIPIF 1 < 0 的终边在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选C。
10、角 SKIPIF 1 < 0 的终边在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选C。
11、(1)若tan(α－π)＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin2α＋1,cs2α－sin2α)＝( )
A.－eq \f(1,2) B.－2 C.eq \f(1,2) D.2
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ等于( )
A.－eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.－eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
【答案】 (1)D (2)D
【解析】(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝eq \f(1,2)，
eq \f(sin2α＋1,cs2α－sin2α)＝eq \f(2sin2α＋cs2α,cs2α－sin2α)＝eq \f(2tan2α＋1,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝2.
（2）sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－2,tan2θ＋1)，
又tan θ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).
12、已知cs(75°+α)=eq \f(1,3)，且α是第三象限角，求cs(15°-α)+sin(α-15°)的值．
【解析】：因为cs(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，
由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，
所以sin(75°+α)= SKIPIF 1 < 0 ．
因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cs(75°+α)=-，
所以cs(15°-α)+sin(α-15°)= SKIPIF 1 < 0 ．
13、已知sin(3πα)= SKIPIF 1 < 0 cs SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cs(α)= SKIPIF 1 < 0 cs(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值．
【解析】：由已知等式可得sin α= SKIPIF 1 < 0 sin β，①
SKIPIF 1 < 0 cs α= SKIPIF 1 < 0 cs β．②
两式平方相加，得sin2α+3cs2α=2sin2β+2cs2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sin α=±．
又因为0<α<π，所以sin α=，α=或．
当α=时，由①②可得sin β=，cs β=，
又0<β<π，所以β=;
当α=时，由①②可得sin β=，cs β=-，
又0<β<π，所以β= SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
14、已知eq \f(π,2)＜α＜π，tan α－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(3,2).
(1)求tan α的值；
(2)求eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－csπ－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值．
【解析】 (1)令tan α＝x，则x－eq \f(1,x)＝－eq \f(3,2)，2x2＋3x－2＝0，
解得x＝eq \f(1,2)或x＝－2，因为eq \f(π,2)＜α＜π，
所以tan α＜0，故tan α＝－2.
(2)eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－csπ－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(sin α＋cs α,cs α)＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.