河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共29页。
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线l：和圆，则“”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 定义函数，设区间的长度为，则不等式解集区间的长度总和为（ ）
A. 5B. 6C. D.
4. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ）
A. B. 16C. 8D.
5. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A. B. C. D.
6. 设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
7. 已知A细胞有0.4的概率会变异成细胞，0.6的概率死亡；细胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A. 一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75
B. 一个细胞为A细胞，其死亡前是细胞概率为0.2
C. 一个细胞为细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35
D. 一个细胞为细胞，其死亡前是细胞的概率为0.7
8. 已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ）
A. 408B. 672C. 840D. 1200
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．
9. 已知，则（ ）
A. 图象关于点对称
B. 的值域为
C. 区间上有33个零点
D. 若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若有极小值，则
B. 若在上单调递增，则
C. 对任意的存在唯一零点
D. 若恒成立，则
11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________.
13. 作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为______．
14. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，.
（1）若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
（2）若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
17. 已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
18. 为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
（1）现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．
（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
19. 已知函数.
（1）求函数图象经过的定点坐标；
（2）当时，求曲线在点处切线方程及函数单调区间；
（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.2024学年郑州市宇华实验学校高二年级（下）期末考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线l：和圆，则“”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线和圆相切求得的值，由此求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
若直线与圆相切，
则，解得.
所以“”是“直线l与圆C相切的充要条件.
故选：C
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据函数的单调性判断A选项；构造函数，根据函数的单调性判断B选项；构造函数，根据函数的单调性判断C选项；构造函数，根据幂函数的性质，判断D选项.
【详解】A：构造函数，因为，所以为增函数，
又因为，则有，所以A错误；
B：构造函数，因为，所以为增函数，
又因为，则有，所以B错误；
C：因，所以，又，则，
构造函数，当时，函数不单调，
所以无法判断与的值的大小，C错误；
D：构造函数，因为，所以函数在上单调递增，
有，D正确.
故选：D.
3. 定义函数，设区间的长度为，则不等式解集区间的长度总和为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的图象，记的三个零点为，则解集区间的长度总和为，对函数进行通分再结合函数零点，利用对应相等即可得解.
【详解】
画出的图象，记的三个零点为，
则解集区间的长度总和为，
通分得，
记①，
的三个零点为，则②，
对比①②两式中的系数得，，故区间长度总和.
故选：B
4. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ）
A. B. 16C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可.
【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，
则四边形为平行四边形.
线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.
，则为二面角的平面角，即
，如图所示.
为等边三角形，
，，，平面，平面
平面
又平面
在中
故选：D
【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.
5. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】如图所示，
延长到点使，连接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面积等于的面积．
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴．
故选：C．
6. 设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.
【详解】因为，则抛物线焦点坐标为，准线方程为，
则，即，
所以，则要使其最小，则需最小，
因为圆的圆心为，半径，
所以.
故选：C.
7. 已知A细胞有0.4的概率会变异成细胞，0.6的概率死亡；细胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A. 一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75
B. 一个细胞为A细胞，其死亡前是细胞的概率为0.2
C. 一个细胞为细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35
D. 一个细胞为细胞，其死亡前是细胞的概率为0.7
【答案】A
【解析】
【分析】设n次为（A或B）细胞的概率为，可知次为细胞概率，设n次为A细胞的概率为，为B细胞的概率为，则n次细胞死亡的概率，对于AB：可知，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于CD：可知，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.
【详解】设n次为（A或B）细胞的概率为，则一次变异不为细胞，两次变异为细胞，
可知次为细胞概率，
设n次为A细胞的概率为，为B细胞的概率为，则n次细胞死亡的概率，
对选项AB：若一个细胞为A细胞，可知奇数次为A细胞，偶数次为B细胞，
则，
可得，，
则A细胞死亡的概率为，B细胞死亡的概率为，
可得细胞死亡的概率为，
所以其死亡前是A细胞的概率为，其死亡前是细胞的概率为，
故A正确，B错误；
对选项CD：若一个细胞为B细胞，可知奇数次为B细胞，偶数次为A细胞，
则，
可得，，
则A细胞死亡的概率为，B细胞死亡的概率为，
可得细胞死亡的概率为，
所以其死亡前是A细胞的概率为，其死亡前是细胞的概率为，
故CD错误；
故选：A.
8. 已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ）
A. 408B. 672C. 840D. 1200
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到和，再分组求和，即可求出结果.
【详解】由，
所以
当时，，
当时，，
两式相加，得，
所以
．
当时，．
由，
两式相减，得，
所以，
所以．
故.
故选：D．
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．
9. 已知，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的值域为
C. 在区间上有33个零点
D. 若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意可得，从而可对A判断；由题意可得，则为的一个周期，不妨讨论内的值域情况，从而可对B判断；令，可得或，即（），从而可对C判断；根据分情况讨论得到，，从而可对D判断.
【详解】对A：由，
所以，则图象关于对称，故A正确；
对B：由，
因为，所以的一个周期为，
不妨讨论一个周期的值域情况，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则；
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因，所以，则，则，
综上所述，故B正确；
对C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31个零点，故C错误；
对D：是以为周期的周期函数，当时，
则在上有2个实根，，且与关于对称，所以；
当时，则在上没有实根，
则在上有2个实根，，且与关于对称，且，
且，，
当时，则在上没有实根，
当时，有2个实根，但只需有4个零点，
所以，又因为，
所以的取值范围是，故D错误，
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若有极小值，则
B. 若在上单调递增，则
C. 对任意的存在唯一零点
D. 若恒成立，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，对函数求导后，当时求函数的极值判断，对于B，由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可，对于C，由，得，构造函数，利用导数判断其单调性进行分析判断，对于D，由，得，令，利用导数判断其在上单调递增，则有，再转化为，再构造函数利用导数求出其最小值即可.
【详解】对于A，，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，故A错误．
对于B，若在上单调递增，则在上恒成立，
所以，即．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故B正确．
对于C，令，则．
令，则，所以在上单调递增．
因为，且当时，，当时，，
所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确．
对于D，由，得，
即．令，则．
，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在上单调递增．
因为，所以，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，故D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查函数的极值问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，再利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确.
【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为，
不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，
对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确；
对于B，易知随机变量的所有可能取值为；
当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得
，
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得
，
随机变量的分布列为
所以期望值，
可得，即，可得B正确；
对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解.
【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,
即,解得.
若时，化为，恒成立，所以满足题意，
所以
故答案为：.
13. 作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正四面体的结构特征分析可知，设第个内切球的半径为，可知是以首项，公比的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】对于边长为的正四面体，
设正四面体的外接圆半径为，内切圆半径为，高为，
令为正三角形的中心，为正四面体的中心，
则，且平面，
可知，
因为，，且，
即，解得，
可知，
设第个内切球的半径为，第个外接球的半径为，
则，，可得，
可知是以首项，公比的等比数列，
所以前个内切球的半径和为.
故答案为：.
14. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率.
【详解】依题意，作图如下，
因为点关于原点对称，所以为的中点，
且为的中点，，所以四边形为矩形，
由，设
由椭圆的定义知，解得：
所以
整理得：，因为，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）2，2
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，.
【小问2详解】
由题意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：.
16. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，平面平面，，，.
（1）若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
（2）若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，证明出为等腰直角三角形，由面面垂直得到线面垂直，得到两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（2）表达出，从而得到，表达出，求出最值.
【小问1详解】
连接，因为，所以，
又，，所以四边形为菱形，
又，故菱形为正方形，
故，由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理得⊥，故为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则⊥，
因平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又，所以⊥，，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，

故二面角的余弦值；
【小问2详解】
由（1）知，.
所以，
平面ABCD的一个法向量为，
由（1）知，平面PAD的一个法向量为，
所以
，
所以当，即时，有最大值.
17. 已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的直线方程为：，，， 联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解；
（2）先求出点的坐标，设的直线为，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用斜率公式化简整理即可得解.
【小问1详解】
当直线的斜率为0时不成立，
设的直线方程为：，，，
联立，消去x得，
则恒成立，
故，
又，，故，
又，则，
故，解得，
故抛物线E的方程是；
【小问2详解】
因为，在抛物线上，故，则，
当直线的斜率为0时不成立，
设的直线为，，，
联立，消去x得：，
则，，
因为，，
则，
故的值为．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18. 为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
（1）现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．
（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】（1）
（2）①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；②分布列见解析，2
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出抽取的50名市民中有8人获奖，42人没有获奖，再利用组合知识求出古典概型的概率；
（2）①计算出样本平均数的估计值，得到X近似服从正态分布，利用原则，求出特殊区间的概率和对应的市民数；
②求出，得到分布列，计算出期望值.
【小问1详解】
由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有（人），获二等奖的有（人），所以有8人获奖，42人没有获奖．
从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样本点总数为．设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则事件A包含的样本点的个数为．
由古典概型概率计算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民获奖的概率为．
【小问2详解】
由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值．
故该市所有参加试卷竞答的市民成绩X近似服从正态分布．
①因为，所以．
，故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68．
②由，得，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为，所以随机变量．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，，
，
随机变量的分布列如下：
所以．
19. 已知函数.
（1）求函数图象经过的定点坐标；
（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；
（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）见解析（3）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，，则，即可求得顶点坐标；（2）当时，，对求导，分别求出与，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数单调区间；（3）对函数求导，讨论和时，函数的单调性，进而求出，即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，
∴，
∴函数的图象无论为何值都经过定点.
（2）当时，.
，，，
则切线方程为，即.
在时，如果，
即时，函数单调递增；
如果，
即时，函数单调递减.
（3），.
当时，，在上单调递增.
，不恒成立.
当时，设，.
∵的对称轴为，，
∴在上单调递增，且存在唯一，
使得.
∴当时，，即，在上单调递减；
∴当时，，即，在上单调递增.
∴在上的最大值.
∴，得，
解得.
点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在 上方即可)；③讨论最值或恒成立.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
P