2024届上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题

这是一份2024届上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 .
【答案】
【分析】利用并集的概念计算即可.
【详解】由题意可知.
故答案为：
2．已知复数z满足，则复数z为 .
【答案】
【分析】运用复数除法化简，再结合共轭复数概念得解.
【详解】,则，则.
故答案为：．
3．已知直线和，若，则 .
【答案】
【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.
【详解】直线和，，
则，解得.
故答案为：.
4．若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为 .
【答案】/0.6
【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.
【详解】由题可知，，
则.
故答案为：.
5．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
【答案】24
【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数.
【详解】的展开式通项公式为，
令，得，故的系数为24.
故答案为：24.
6．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为 ．
【答案】7
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】将数据从小到大重新排列为 1,2,4,5,6,7,8,9 ，共8个数据，
由于，所以第70百分位数为7.
故答案为：7
7．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【解析】分别化简两个集合，由集合A，B构成“偏食”，可得实数t的取值范围．
【详解】集合，
若集合A，B构成“偏食”，则
则，实数t的取值范围为
故答案为：
8．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为 .
【答案】
【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，
设两个圆锥的高分别为，于是有且，
所以有，设圆锥的底面半径为，
所以有，
因此这两个圆锥的体积之和为，
故答案为：
9．已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
10．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可
【详解】当时，，；
当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即
故答案为
【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
11．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e= .

【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得，，
则直线，即，
设，则，
所以点到直线的距离为，解得，
所以，即，
直线，即，
所以点到直线的距离为，解得或，
因为，所以，即直线，
令得，即，
所以，即，
联立与，解得，
故椭圆离心率为.
故答案为：
12．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有 个
【答案】1012
【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论.
【详解】由题意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程有实数解，则，
显然第1012个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是.
所以和至多一个成立，
同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，
且，
综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.
故答案为：1012
二、单选题
13．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由，
可得或，
即或，
所以由“”推不出“”，由“”可推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
14．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断.
【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；
对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；
对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；
对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.
故选：D.
15．已知数列的前项和满足，有结论：
① 若，则；
② 数列是常数列.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】利用已知数列与的关系，转化为，，再利用分组求和判断①，以及讨论后，判断②.
【详解】由，得时，，
两式相减得：，
，故①成立，
由以上可知，当时， ，
当时，，即，即，
只有当时，，此时数列是常数列，
当时，，此时数列不是常数列，故②不成立，
故选：B
16．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可.
【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，所以设，则
，，
所以，
所以，即（为任意角），
所以
（其中），
所以的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
（其中）
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为是的中点，所以，且.
又因为底面是正方形，是的中点，
所以，且.所以.
所以四边形是平行四边形，所以.
由于平面，平面，所以平面.
（2）因为底面是正方形，所以.又因为平面.
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.
，，，，，.
，，
设平面的法向量为.有：即令，则，
所以..设直线与平面所成角为.
有：.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为.
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为
（2）设中角所对的边分别是.
，即，解得.
，
，
.
19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
【答案】(1)答案见解析；
(2)至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.
【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果.
【详解】（1）因为（，）的增长速度越来越快，
（）和（）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型（，）.
由题意得，解得，
所以该函数模型为（）；
（2）由题意得，即，
所以，
又.
所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.
20．已知椭圆C：的焦距为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．
①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为.
【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；
（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值.
【详解】（1）因为焦距为，即，所以，
又因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设.
由得，
，.
①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，.
所以.
所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即.
故线段的垂直平分线恒过定点.
②由弦长公式得，
坐标原点到直线的距离为，
所以的面积为.
当且仅当，即时等号成立.
所以.
所以直线OM与ON的斜率之积为定值.
21．已知函数，．
（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；
（2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；
（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可；
法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【详解】（1）当时， ，．
设直线与曲线相切于点，
则，即，
解得，即切点为，
因为切点在上，所以，解得．
（2）不等式可化为．
记， 则对任意恒成立．
考察函数， ，．
当时， ，在上单调递减，又，
所以，不合题意；
当时， ，；， ，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在上单调递增，
所以时， ，符合题意；
若，即时，在上单调递减，
所以当时， ，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
（3）方法一：，，．
因为有两个极值点， ，
所以，即的两实数根为， ， ，
所以， ， ，所以， ，
从而
．
记，．
则 (当且仅当时取等号)，
所以在上单调递增，又，
不等式可化为，所以．
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为．
方法二：， ，．
因为有两个极值点， ，
所以，即的两实数根为， ， ，
所以， ， ，所以，．
设，则， ，所以， ， ，
从而等价于，．
记，．
则 (当且仅当时取等号)，
所以在上单调递增．
又， ，所以．
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为．
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．