辽宁省实验中学2024届高三上学期高考适应性测试（一）数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省实验中学2024届高三上学期高考适应性测试（一）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的右支上，点N为的中点，O为坐标原点，，，的面积为，则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
2．已知函数，则下列说法正确的是( )
①函数图象的一条对称轴的方程为；
②函数在闭区间上单调递增；
③函数图象的一个对称中心为点；
④函数的值域为.
A.①②B.③④C.①③D.②④
3．定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是
①若，则函数的图象在函数的图象上方；
②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点对称；
③函数，则；
④若是增函数，则.
A.①②B.①②③C.③④D.②③④
4．的展开式中的系数为( )
A.208B.216C.217D.218
5．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为( )
A.4B.3C.2D.1
6．设函数，若，，，则( )
A.B.C.D.
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的可能值为( )
A.B.C.D.
8．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，若函数在处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A.当时，B.当时，
C.D.
10．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.B.
C.D.
11．如图，小明、小红分别从街道的E、F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则( )
A.小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3
B.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35
C.若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32
D.若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18
12．已知函数的定义域为R，且.若的图象关于点对称，，则( )
A.B.的图象关于直线对称
C.D.
三、填空题
13．已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为，的中点，且，则双曲线E的离心率为________.
14．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有________种（用数字作答）
15．已知，则________.
16．已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段的中点到x轴的距离为________.
四、解答题
17．如图，已知四棱锥，是等边三角形，，，，，E是的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的值.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，的周长的取值范围.
19．已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线C右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l是曲线C在点处的切线，且l分别交两条渐近线，于M、N两点，O为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值.
20．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，,，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
(1)求二面角的余弦值；
(2)求四棱锥外接球的体积.
21．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在区间上的单调性.
22．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列。
参考答案
1．答案：C
解析：如下图所示：
O为的中点，N为的中点，则，
即，可得,且有,则,
在中，由余弦定理得
则的面积为
解得,，
因此，该双曲线的标准方程为。
故选:C.
2．答案：A
解析：函数
作出图象如下:
由图可知直线，是函数图象的对称轴,故①正确。
在闭区间上,,函数单调递增,故②正确.显然,结合函数的图象可得,点不是函数的对称中心,故③错误.
结合的图象可得,函数的值域为,故④错误.
故选:A.
3．答案：C
解析：①由,说明函数比增加的快,
而函数的图象不一定在函数的图象上方,因此不正确;
②如果，,那么它们关于对称,可以取，,它们不关于对称,因此②是错的;
③函数,由复合函数的导数运算法则可得:,故正确;
④由是增函数,可得正确.
综上可知：③④正确.
故选:C.
4．答案：B
解析：表示4个因式的乘积,
故其中一个因式取a,一个因式取,
余下的2个因式都取,
可得展开式中的系数,
故展开式中的系数为:
故选：B.
5．答案：C
解析：如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义:
,,设,
则：在中由勾股定理得,；
化简得:,该式可变成:
，
故选:C.
6．答案：D
解析：函数的定义域为R,,即函数是R上的偶函数,
当时,在上单调递增,
而,
因此,
而,
所以.
故选:D.
7．答案：B
解析：
则,
因为满足,
所以函数的图象关于直线对称,
所以,所以,,
因为,所以的最小值为.
故选:B.
8．答案：B
解析：函数的图象过④⑧部分,
函数在第一象限内单调递减,
;
又时,,
函数的图象经过⑧部分,
取,
即函数.
故选:B.
9．答案：AD
解析：函数的定义域为，
且
，
令，得或，
要使函数在处取得极小值，
需要在处的左侧临近区域，
在处的右侧临近区域；
对于A：当时，的图象为开口向上的抛物线，
则需，解得，
即选项A成立；
对于B：当时，的图象为开口向下的抛物线，
则需，解得，
即选项B不成立；
对于C：当时，；
当时，，
即选项C不成立；
对于D：当时，；
当时，，
即选项D成立.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：A选项中,,M,A,B,C四点共面;
B选项中,,所以M,A,B,C四点不共面;
C选项中,,则点M,A,B,C共面;
D选项中,,因为,所以M,A,B,C四点不共面.
故选AC.
11．答案：ABD
解析：如图,小红到老年公寓的最短路径有:
，，，
共3条,故A正确;
由小红到老年公寓的最短路径可知,当纵向的路径确定后,横向的路径也是确定的,从左向右分别标为1,2,3,4,5
小明确定出最短路径有三条纵向的路径可以选择,
①若三条纵向的路径标号相同,共5种,
②若三条纵向的路径标号两条相同,共有种,
③若三条纵向的路径标号各不相同,共有种,故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35种,故B正确;
同理,由E到F的最短路径共有种,故若小明先到F处与小红会合,再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,故D正确;
故若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种,故C错误;
故选ABD
12．答案：BC
解析：因为的图象关于点对称，所以,
又因为,所以,
令,则有,即有,故A错误；
所以,所以的图象关于对称,故B正确;
由,,
可得
所以,故C正确;
对于D,由C可得的周期为4,
所以
,故D错误.
故选:BC.
13．答案：
解析：根据对称性设A在第一象限,设,
点P,Q,O分别为三角形的三边的中点,,,
,,即四边形为矩形,
,
,则,
则,即,
即,则,
则左焦点,右焦点,
则
则,即.
即双曲线的离心率.
故答案为:.
14．答案：540
解析：若按照进行分配,则有,
若按照进行分配,则有种;若按照进行分配,
则有种,故共有540种分配方法.
15．答案：
解析：,,
,
故答案为:.
16．答案：
解析：抛物线的焦点准线方程,设,,
,
解得,
线段的中点纵坐标为,
线段的中点到x轴的距离为,
故答案为:.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取的中点G，连接、，
根据中位线定理，，且，
又，所以，，则四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）以D为原点，、、过D且垂直底面的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设，则、、、，设，
由，，，
上面联立解方程组得，，，
故点，所以，得到，
平面的法向量为，由.
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）；
（2）
解析：由正弦定理得.
因为，所以.
由，可得，
所以.
因为，，所以，
所以，
(2)由于，，有正弦定理，
所以，，
由于，
因为，所以.
因此
19．答案：（1）；
（2）证明见解析，面积为定值2
解析：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，
由动点到两条渐近线，的距离之积为，
则，
又，即，
解得，，
则双曲线的方程为.
（2）证明：设直线l的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得，可得，
设直线l与x轴交于D，则，
，
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
则.
即有面积为定值2.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在等腰梯形中，作于M，
则,,，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
（2）取的中点，连接，，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点O，连接，，，，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以O为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.
21．答案：（1）为奇函数，理由见解析；
（2）在上单调递增
解析：（1）令，即，
解得或，所以的定义域为，
而
，
所以为奇函数.
（2）令，则，
又，
设，且，
则
因为，且，
所以，，，
因此，即在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（m、n、p均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，
故数列中任意三项均不能构成等比数列.