山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,,则( )
A.B.C.D.
2．函数在区间上的最大值是( )
A.-9B.-16C.16D.9
3．若正数x,y满足,则的最小值为( )
A.2B.C.3D.
4．从数字1,2,3中随机取一个数字,取到的数字为,再从数字中随取一个数字,则第二次取到数字2的概率为( )
A.B.C.D.
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A.48B.32C.24D.16
6．令,则当时,a除以15所得余数为( )
A.4B.1C.2D.0
7．不等式恒成立,则实数a的最大值为( )
A.B.C.1D.2
8．已知函数没有极值点,则的最大值为( )
A.B.C.eD.
二、多项选择题
9．数学中蕴含着无穷无尽的美,尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现,它是从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然两位回文数有9个：11,22,33,…,99;三位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是( )
A.四位回文数有45个B.四位回文数有90个
C.位回文数有个D.位回文数有个
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是( )
A.若，且，，则
B.若，且，，则
C.若，，则
D.若，，，则
11．已知函数,是的导函数,则( )
A.“”是“为奇函数”的充要条件
B.“”是“为增函数”的充要条件
C.若不等式的解集为且,则的极小值为
D.若,是方程的两个不同的根,且,则或
三、填空题
12．已知集合,,若“”是“”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为______________.
13．已知函数（其中且）,若存在,使得,则实数a的取值范围是________________.
14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的,其内容是：对于任一随机变量X,若其数学期望和方差均存在,则对任意正实数,有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列,现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内,估计信号发射次数n的值至少为________________.
四、解答题
15．设函数,其中.
(1)若命题“,”为假命题,求实数t的取值范围;
(2)若函数在区间内恒成立,求实数t的取值范围.
16．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
17．某校举行篮球比赛,规则如下：甲、乙每人投3球,进球多的一方获得胜利,胜利1次,则获得一个积分,平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p,且每人进球与否互不影响.
(1)若,求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率;
(2)若,且每轮比赛互不影响,乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球,从数学期望的角度分析,理论上至少要进行多少轮比赛？
18．已知函数.
(1)在定义域内单调递减,求a的范围;
(2)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(3)若函数在处取得极值,,恒成立,求实数b的取值范围.
19．在信息理论中,X和Y是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为：,,,,,.定义随机变量X的信息量,X和Y的“距离”.
（1）若,求;
（2）已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为q,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
（ⅰ）若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;（用p,q表示结果）
（ⅱ）记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
所以,且.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为,令,解得,
当时,,即单调递增,
当时,,即单调递减,
所以在时取得极大值,即最大值,
所以在区间上的最大值是16.
故选：C.
3．答案：B
解析：由正数x,y满足,
得,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值为.
故选：B.
4．答案：A
解析：记事件“第一次取到数字”,,事件“第二次取到数字2”,
由题意知,,是两两互斥的事件,且（样本空间）,
所以
.
故选：A.
5．答案：C
解析：1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码.
故选：C.
6．答案：D
解析：,
当时,
故a除以15所得余数为0.
故选：D.
7．答案：B
解析：设,,则,因为,所以,
所以在上单调递增,所以,即.
所以在恒成立.
由题意：函数的定义域为：.
所以原不等式可化为：,问题转化为求的最小值.
而（当且仅当时取“=”）
结合图象：
方程在上有唯一解.
所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：函数没有极值点,
,或恒成立,
由指数爆炸的增长性,不可能恒小于等于0,
恒成立.
令,则,
当时,恒成立,为R上的增函数,
因为是增函数,也是增函数,
所以,此时,不合题意;
②当时,为增函数,由得,
令,,
在上单调递减,在上单调递增,
当时,依题意有,
即,
,,
令,,
则,
令,令,解得,
所以当时,取最大值
故当,,即,时,取得最大值
综上,若函数没有极值点,则的最大值为
故选：B.
9．答案：BD
解析：据题意,对于四位回文数,有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999,共90个,则A错误,B正确;
对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第n和第位也有10种,则共有种选法,故C错;
对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第个数字,即最中间的数字有10种选法,
则共有种选法,即位回文数有个,所以D正确.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥，由，，
得，选项B正确；
选项C：由得事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，
所以，
则，选项C正确；
选项D：由，，
得，，，
所以，
解得，选项D正确.
11．答案：ACD
解析：对于A中,当时,函数,则满足,
所以为奇函数,所以充分性成立;
若为奇函数,则,
则恒成立,所以,所以必要性成立,所以A正确;
对于B中,当时, ,可得,所以为增函数;
由,当为增函数时,,所以“”是“为增函数”的充分不必要条件,所以B错误;
对于C中,由,若不等式的解集为且,
则在R上先增后减再增,则,解得,
故,可得,
令,解得或,
当内,,单调递增;
当内,,单调递减;
当内,,单调递增,
所以的极小值为,所以C正确.
对于D中,由,因为,是方程的两个不同的根,
所以,即,且,,
由,可得,所以,即,
联立方程组,可得,解得或,所以D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由“”是“”的必要不充分条件,得,
依题意,集合,
,
当,即时,,则,解得;
当,即时,,则,解得,
当,即时,,满足,因此,
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题知,,
若,则当时,,当且仅当时第一个等号成立,所以在上单调递增,
所以当时,,不满足题意;
若,则当时,,在上单调递减,
所以当时,,满足题意;
若,则当时,则,
令,则,所以在上单调递增,
当时,,所以存在唯一的,使得,
且时,单调递减,所以时,,满足题意.
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：1250
解析：由题意知,所以,,
若,则,
即,即,
由切比雪夫不等式知,
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内,
则,解,
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为函数,
由命题“,”为假命题,即命题“,”为真命题,
根据二次函数的性质,可得,解得或,
所以实数t的取值范围为.
(2)由函数,可得,
因为函数在区间内恒成立,
即在区间内恒成立,
又因为,当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最小值为,
所以,解得,
所以实数t的取值范围为.
16．答案：（1）增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为；
（2）.
解析：（1），该函数的定义域为，
则，列表如下：
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，
所以，，故实数a的取值范围是.
17．答案：(1);
(2)12.
解析：(1)设事件表示甲在一轮比赛中投进i个球,
表示乙在一轮比赛中投进个球,
则,,
,;
,,
,.
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
.
(2),.
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球,
则
;
设随机变量X表示n轮比赛后,乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分,
显然,故,
要满足题意,则,即,
又,故,
令,,则在恒成立,
故在上单调递增,
又的最大值为,
则的最大值为,的最小值为,
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
18．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)函数定义域为,
,因为在定义域内单调递减,
则在上恒成立,可得,
函数在单调递减,a的取值范围为;
(2)当时,在定义域内单调递减,
在上没有极值点;
当时,得,得,
在上递减,在上递增,
即在处有极小值.
当时在上没有极值点,
当时,在上有一个极值点.
(3)函数在处取得极值,, ,
,
令,,
,则,
可得在上递减,在上递增,
,即.
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）;（ⅱ）证明见解析
解析：（1）因为,所以,
所以X的分布列为：
所以.
（2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件,收到信号0和1分别为事件,
则,,,
,
所以
,
所以;
（ⅱ）由（ⅰ）知,则,
则,
设,则,
所以当时,单调递增,当时,单调递减;
所以,即（当且仅当时取等号）,
所以,
所以
,
当且仅当,即,时等号成立,
所以.
x
1
2
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
X
0
1
2
P