乌鲁木齐市第二十三中学2024届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)

这是一份乌鲁木齐市第二十三中学2024届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知向量，，则的坐标是( )
A.B.C.D.
4．已知函数，若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的一个焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，若，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
6．已知α是第四象限角，且，则( )
A.13B.C.D.
7．已知平面向量和，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知，均为锐角，且满足，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34
B.展开式中项的系数为1120
C.相关系数，表明两个变量相关性较弱
D.若，则
10．若，则( )
A.B.C.D.
11．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是( )
A.B.C.D.
12．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是( )
A.棱的高与底边长的比为B.侧棱与底面所成的角为
C.棱锥的高与底面边长的比为D.侧棱与底面所成的角为
三、填空题
13．为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民.若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”.
14．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中、、，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为__________.(假定烹煮的食物全在四棱台内)
15．已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________.
16．已知点D在线段上，是的角平分线，E为上一点，且满足，，，设，则在上的投影向量为__________.（结果用表示）.
四、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长.
18．直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，M是侧棱上一点，设.
（1）若，求h的值；
（2）若，求直线与平面所成的角.
19．已知函数.
（1）当时，设的导函数为，若在定义域范围内恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：当时，.
20．记数列的前n项和为，已知，是公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式：
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
21．高一年级某个班分成8个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全员参加），参加活动的次数记录如下：
（1）从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；
（2）记每个小组参加社会公益服务活动的次数为X.
①求X的分布列和数学期望；
②至几小组每组有4名同学，小组有5名同学记“该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为，写出与的大小关系（结论不要求证明）.
22．已知函数（，e为自然对数的底数），.
（1）若在单调递减，求实数b的取值范围；
（2）若不等式对，恒成立，求实数b的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：，所以，
故选：D.
2．答案：A
解析：，则，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限
故选：A.
3．答案：B
解析：因为向量，，
所以.
故选：B.
4．答案：C
解析：对任意，，且，都有，
在上单调递增，
的对称轴为，
当时，开口向下，在单调递减，不符合题意；
当时，开口向上，要在单调递增，则，解得，
综上，.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意知椭圆的一个焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，
若，则，即，
设椭圆的离心率为e，则，，
故选：D.
6．答案：B
解析：因为，所以，因为α是第四象限角，所以，，
因此.
故选：B.
7．答案：C
解析：
则“”是“”的充分必要条件
故选：C.
8．答案：B
解析：由，得，
即，化简得，
则，
所以，
由为锐角，，则有，
当且仅当，即时等号成立，
，
由，函数在上单调递增，
所以的最大值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A，一组数据从小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，
所以中位数为，故A正确；
对于B，设展开式的通项为，令，可得
展开式中项的系数为，故B正确；
对于C，相关系数取值一般在之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值越接近0说明变量间线性关系越弱，相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下，认为没有相关性，所以相关系数表明两个变量相关性较强，故C错误；
对于D，若，则，则，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：由题意，，原式，可变换为，即；
当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
当时，，所以，所以，即；
当时，，所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
综上：.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：对于A：，，故为奇函数，，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以A正确；
对于B：，，故在区间上不是单调递增，故B错误；
对于C：，，故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以C正确；
对于D：，在区间上单调递减，所以也是递减，故D错误；
故选：AC.
12．答案：AB
解析：设四棱锥的高为h，底面边长为a，
可得，即，
所以其侧面积为，
令，则，
令得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时取得最小值，即四棱锥的侧面积最小，
此时，
所以棱锥的高与底面边长的比为，故A正确，C错误，
侧棱与底面所成的角为，由，可得，
所以，故B正确，D错误.
故选：AB.
13．答案：27
解析：当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；
当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，
所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为，
故答案为：27.
14．答案：
解析：几何体为四棱台，则延长、、、必交于一点，该点记为O，
由得：.
过点O作平面于H，作面于G，则与所在直线重合，可得，
又，解得，，
.
故答案为：.
15．答案：
解析：与函数均是单调函数.
作出函数的图象，由图可知，当时，方程有两不等实根，.不妨设，.
则，，即，.
则.
令，，则.
当时，有，单调递减；
当时，有，单调递增.
所以，在时，取得唯一极小值，也是最小值.
故答案为：.
16．答案：
解析：建立如图所示的直角坐标系，
由，可设，，，
得点C的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.
因为是的角平分线，
且，
所以也为的角平分线，为的内心.
如图，设，，，，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，
又，所以，，在上的投影长为4，则在上的投影向量为，
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
又，所以，
又，所以；
（2）由，得，
又，则，
则，解得，所以，
则，
所以，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）以A为坐标原点，以射线、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
，
由得，即
解得.
（2）解法一：此时
，，，
设平面的一个法向量为，
由得，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则
所以直线与平面所成的角为.
解法二：联结，则，
，，平面，
，平面，
所以是直线与平面所成的角；
在中，，，
所以
所以，
所以直线与平面所成的角为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）令
，在单减，在单增
的最小值，所以.
（2）（ⅰ）当时，，，
成立，
（ⅱ）当时，设，则，
设，则，
，，即在上单调递增，
即，
在在单调递增，
即，
综上可知，时，.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
因为是公差为2的等差数列，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以，所以.
（2）证明：由（1）可得，
当时，，当时，，
可用数学归纳法证明：当时，，成立，
假设时，成立，
则当时，，
所以当时，，
所以，
令，则
，
所以
，
所以，
所以，即.
21．答案：（1）
（2）①详见解析；②.
解析：（1）从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报，
基本事件总数为，
选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等包含的基本事件个数为，
“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率为；
（2）①由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3，4；
则，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望为；
②由至几小组每组有4名同学，小组有5名同学，且每一组对应的数据知，.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）在单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，，需即可，
，，则，
在单调递增，
，
故；
（2）由题意，不等式对，恒成立，则对一切恒成立，
，，所以，
原命题等价于对一切恒成立，
对一切恒成立，
令，，
，
令，，则对恒成立，
上单增，
又，，
使，即①，
当时，，即在递减，
当时，，即在递增，
，
由①，，
设，，则，
函数在单调递增，
即，
，，
实数b的取值范围为.
组别
参加活动次数
3
2
4
3
2
4
1
3
X
1
2
3
4
P