新高考数学一轮复习第2章 第08讲 函数与方程(精讲+精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
高频考点二：函数零点个数的判断
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四：比较零点大小关系
高频考点五：求零点和
高频考点六：根据零点所在区间求参数
高频考点七：二分法求零点
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第08讲 函数与方程（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
对于一般函数 SKIPIF 1 < 0 ，我们把使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 SKIPIF 1 < 0 的零点就是方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根，也就是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点的横坐标
即方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有交点 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，那么，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有零点，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，这个 SKIPIF 1 < 0 也就是方程 SKIPIF 1 < 0 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过不断地把函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 SKIPIF 1 < 0 的近似解就是求函数 SKIPIF 1 < 0 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 SKIPIF 1 < 0 有零点 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有交点；
④函数 SKIPIF 1 < 0 有零点 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有交点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东中山·高一期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一开学考试）用二分法研究函数 SKIPIF 1 < 0 的零点时，第一次经过计算得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在性知：零点 SKIPIF 1 < 0 ，
根据二分法，第二次应计算 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
3．（2022·广西玉林·高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
易知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且函数 SKIPIF 1 < 0 零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
4．（2022·福建南平·高一期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 所在区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．（2022·江苏淮安·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
令 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由题意得 SKIPIF 1 < 0 连续，根据函数的零点判定定理可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
1．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）方程 SKIPIF 1 < 0 的解所在的区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 内是增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的零点在 SKIPIF 1 < 0 上，即题中方程的根属于 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的一个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 是单调递减函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的一个区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减； SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的连续减函数，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两函数值异号，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ） SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
SKIPIF 1 < 0 ,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在 SKIPIF 1 < 0 时为单调增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内是递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知， SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续不断的，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有如下的对应值表：
则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点有（ ）
A．两个B．3个C．至多两个D．至少三个
【答案】D
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续不断的，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有1个零点，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续不断的，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有1个零点，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续不断的，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有1个零点，
综上，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点至少有3个，
故选：D
2．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
令 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在定理可知，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
作出函数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点；
直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点；直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有且只有一个交点．综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为5．
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；以此类推，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；…；
在平面直角坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示.
由图可知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有7个不同的交点
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有两个零点；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有一个零点；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有三个零点；
（4） SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
【答案】（1）（2）（4）
函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数可转化为函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点的个数；
作函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的图象如图，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上各有一个交点，则 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，故（1）正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则当函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时， SKIPIF 1 < 0 有一个零点，故（2）正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 足够小时，函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上分别有1个、2个交点，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的零点的个数为__________.
【答案】10
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是以2为周期的周期函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，如图所示，
由图可知函数 SKIPIF 1 < 0 有10个交点，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的零点有10个.
故答案为：10.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，的图象如图：
方程 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，3；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有2个零点 SKIPIF 1 < 0 ，5；
则实数m的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
2．（2022·上海杨浦·高一期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
如图所示：
指数函数 SKIPIF 1 < 0 ，没有零点，
SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以若函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点，
须 SKIPIF 1 < 0 有零点，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
因为 SKIPIF 1 < 0 时至多有一个零点，单调函数 SKIPIF 1 < 0 至多一个零点，
而函数 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，
所以需满足 SKIPIF 1 < 0 有1个零点， SKIPIF 1 < 0 有1个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
4．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
原命题等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，作出两函数的图像，
则两函数在 SKIPIF 1 < 0 上必有交点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， 则使函数 SKIPIF 1 < 0 有零点的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，现作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图：
于是，当 SKIPIF 1 < 0 时，图象有交点，即函数 SKIPIF 1 < 0 有零点.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时函数有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉 SKIPIF 1 < 0 的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用 SKIPIF 1 < 0 的范围解不等式即可，需要注意定义域的限制.
高频考点四：比较零点大小关系
1．（2022·浙江·於潜中学高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
解：在同一坐标系中作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图象知： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
作函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，再作直线 SKIPIF 1 < 0 ．
变换m的值发现： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均能够成立， D不可能成立.
故选：D．
3．（2022·山东潍坊·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
在同一坐标系中分别画出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，从图象可以看出．
SKIPIF 1 < 0
故选：B
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 的根为 a，由方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 的根为b.
在同一平面直角坐标系中画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图象知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5．（2022·江苏苏州·高一期末）若实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系 SKIPIF 1 < 0 __ SKIPIF 1 < 0 （填“ SKIPIF 1 < 0 ”，“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象交点的横坐标， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象交点的横坐标，
在同一直角坐标系画出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如下，
由图知 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·江苏·高一）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的零点依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的零点为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的横坐标，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的零点为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的横坐标，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的零点为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的横坐标，
画出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
观察图象可知，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的零点依次是点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的横坐标，
由图象可知 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
高频考点五：求零点和
1．（2022·天津市新华中学高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上所有实数解的和为15，则实数k的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象，可由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再将纵坐标伸长为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍得到，同理，可画出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的大致图象，如图，作出函数 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的大致图象，
由条件可得，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点两两一组分别关于直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对称，则实数解的和为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点两两一组分别关于直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对称，则实数解的和为 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点两两一组分别关于直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对称，则实数解的和为 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点两两一组分别关于直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对称，则实数解的和为 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的两个交点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数解的和为 SKIPIF 1 < 0 ；
经验证，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，均不符合题意．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B．2C．－1D．－2
【答案】D
函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的解，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的交点，
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若互不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图象可知，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．（2022·江苏·高一期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点的和为_________
【答案】3
∵ SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
作出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称
∴作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，由图象知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点
即 SKIPIF 1 < 0 有三个根，其中一个根为1，另外两个根 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称
即 SKIPIF 1 < 0
则所有解的和为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3
高频考点六：根据零点所在区间求参数
1．（2022·海南·高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
∴只需 SKIPIF 1 < 0 即可，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．（多选）（2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：BC
4．（2022·上海市建平中学高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有零点,则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)
SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
高频考点七：二分法求零点
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 SKIPIF 1 < 0 的一个近似根（精确度 SKIPIF 1 < 0 ）可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不满足精确度 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不满足精确度 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不满足精确度 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不满足精确度 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足精确度 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的一个近似根（精确度 SKIPIF 1 < 0 ）是区间 SKIPIF 1 < 0 内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故选：C
2．（多选）（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点时，计算出如下结果： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的有（ ）
A．精确到 SKIPIF 1 < 0 的近似值为 SKIPIF 1 < 0 B．精确到 SKIPIF 1 < 0 的近似值为 SKIPIF 1 < 0
C．精确到 SKIPIF 1 < 0 的近似值为 SKIPIF 1 < 0 D．精确到 SKIPIF 1 < 0 的近似值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 零点在 SKIPIF 1 < 0 内，又 SKIPIF 1 < 0 ，则AC正确，D错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则B错误.
故选：AC.
3．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是连续的，且函数 SKIPIF 1 < 0 的唯一零点同在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内，则与 SKIPIF 1 < 0 符号不同的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
由二分法的步骤可知，
①零点在 SKIPIF 1 < 0 内，则有 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取中点2；
②零点在 SKIPIF 1 < 0 内，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取中点1；
③零点在 SKIPIF 1 < 0 内，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取中点 SKIPIF 1 < 0 ；
④零点在 SKIPIF 1 < 0 内，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则取中点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤零点在 SKIPIF 1 < 0 内，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以与 SKIPIF 1 < 0 符号不同的是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ABD.
4．（多选）（2022·全国·高一）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不存在零点B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有一个零点C．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且只有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
A：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点0，故A错误；
B：函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象不间断，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确；
C：如图， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且只有一个零点，但 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D：如图， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D错误.
故选：ACD
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）将 SKIPIF 1 < 0 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组 SKIPIF 1 < 0 人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为 SKIPIF 1 < 0 ，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.
【答案】 2 SKIPIF 1 < 0
若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；
若待检测的总人数为 SKIPIF 1 < 0 ，且假设其中有不超过2名感染者，
若没有感染者，则只需1次检测即可；
若只有1个感染者，则只需 SKIPIF 1 < 0 次检测；
若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测均为 SKIPIF 1 < 0 的组，
每组1个感染者，此时每组需要 SKIPIF 1 < 0 次检测，
所以此时两组共需 SKIPIF 1 < 0 次检测，
故有2个感染者，且检测次数最多，共需 SKIPIF 1 < 0 次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0
6．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
【答案】（1）（3）
用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
SKIPIF 1 < 0 最多有2个根，所以 SKIPIF 1 < 0 至少有4个根，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（1） SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有4个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有5个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有6个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 有2个零点；
所以若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点.
综上，要使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有6个零点，则应满足
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则可解得a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2020·全国·高考真题（理））若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为增函数，因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以C、D错误.
故选：B.
3．（2020·天津·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有4个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，所以要使 SKIPIF 1 < 0 恰有4个零点，只需方程 SKIPIF 1 < 0 恰有3个实根
即可，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有 SKIPIF 1 < 0 个不同交点.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，如图1， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不同交点，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 个不同交点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图3，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时，联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.

4．（2021·江苏·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若其图像上存在互异的三个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图，
由题意得函数图象上存在互异的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则可看做函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个不同的交点，
由图知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2021·北京·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰 有2个零点；
②存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有个1零点；
③存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有个3零点；
④存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
对于②，考查直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
若函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点，所以， SKIPIF 1 < 0 ，此不等式无解，
因此，不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
第五部分：第08讲 函数与方程（精练）
一、单选题
1．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则零点所在的区间可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
显然函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以零点所在的区间可以为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2020·江西省兴国县第三中学高三阶段练习（理））二次函数 SKIPIF 1 < 0 的部分对应值如下表：
可以判断方程 SKIPIF 1 < 0 的两根所在的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
由表格可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合零点存在性定理可知：二次函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所以方程 SKIPIF 1 < 0 的两根所在的区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3．（2020·全国·高一课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
令 SKIPIF 1 < 0 ，则f (0)＝－4