新高考数学一轮复习第3章 第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (精讲+精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表：
的导函数的图象如图所示，
则下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由f′(x)<0得到．
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
对原函数求导得，，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
亦即有两个不等实根.
令，则
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为当时，，当时，，
所以，解得，
即a的范围是.
故选：B
3．（2022·全国·高二）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为函数仅有一个零点，
所以与图像只有一个交点.
对于，求导得.令，得或.
所以当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增.
所以当时函数有极大值，当时函数有极小值.
作与的图像如下图所示.
由图可知，当与图像只有一个交点时，或，即或.
故选:D
4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4）B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
由题意，函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得函数有三个零点，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】B
令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数
1．（2022·全国·高二）设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)（ ）
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．
又＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，其中为自然对数的底数，……，则的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
由题意得，，∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.∵，
∴存在唯一.使得，即在上存在唯一零点.
∵，
∴存在唯一，使得，即在上存在唯一零点.
综上，有且只有两个零点.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
， ，
所以函数在和各有1个零点，所以共2个零点.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）求函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
,
在上单调递增,在上单调递减,在上上单调递增,
所以当时,取到极大值,
所以当时,取到极小值,
所以函数零点的个数为3
所以C选项是正确的
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】B
令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程的实根个数是______ ．
【答案】
解：设，则，
令，得或，
时，即在上单调递增；
当时，即在上单调递减；
当时，即在上单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，
由上分析知的图象如图所示，函数与轴只有一个公共点，
所以方程只有一个实根．
故答案为：．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数是__________．
【答案】2
，
画出与的图象如下图所示，
当时，，
，所以在曲线图象上点的切线方程为，即.
由图可知与有两个公共点，即有两个零点.
故答案为：
8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数，其中．
(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；
(2)若，讨论在区间上的零点个数．
【答案】(1)或；
(2)当时，在，上无零点，
当或或 时，在，上有1个零点，
当时，在，上有2个零点.
【解析】
(1)
，定义域是，
，
①若，则当时，恒成立，
故在单调递增，与存在极值点矛盾，
②若时，则由解得：，
故时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故存在唯一极小值点，
故，
故或；
(2)
①时，在，上恒成立，
故在，上单调递增，
， ，
由零点存在性定理，在，上有1个零点；
②当时，在，上恒成立，
故在，上单调递增，
， ,
由零点存在性定理，在，上有1个零点；
③当时，当，时，，，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增，
，
此时若，，在，上有1个零点；
若，，在，上无零点；
若，，
而，
若，即 ，在，上有1个零点；
若，即 ，在，上有2个零点；
综上：当时，在，上无零点，
当或或 时，在，上有1个零点，
当时，在，上有2个零点.
9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数．
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)求出方程的解的个数．
【答案】(1)函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.
(2)当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.
【解析】
(1)
因为，所以，
令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，
函数在单调递减，所以为函数的极小值点，
所以的极小值为：，无极大值.
综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.
(2)
易知当时，，当时，，当时，，
再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：
由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数
等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：
当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；
当时，函数的图像与直线有个交点，
故方程有个解；
当或时，函数的图像与直线有个交点，
故方程有个解；
综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.
高频考点二：证明唯一零点（根）问题
1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间及相应区间上的单调性；
(2)证明:只有一个零点．
【答案】(1)递增区间是，，递减区间是；
(2)证明见解析.
(1)
若时，函数，求导得，
由，解得，
当或时，，当时，，
所以的递增区间是，，递减区间是.
(2)
因，则等价于，
令，则，当且仅当时取“=”，
于是得在R上单调递增，
而，
，
则存在唯一的，使得，即函数有唯一零点，
所以只有一个零点.
2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，求证：有且只有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
若，则，其定义域为，∴，
由，得，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴
(2)
证明：，
由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递诚，
∵，
∴当时，，
故在上无零点；
当时，，
∵且，
∴在上有且只有一个零点.
综上，有且只有一个零点.
3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：函数仅有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
函数的定义域为，
则，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
所以当时，函数取最小值.
(2)
，
函数的定义域为，且.设，
则.
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，（当且仅当时取等号）.
即当时，（当且仅当时取等号）.
所以函数在上单调递增，至多有一个零点.
因为是函数唯一的零点.
所以函数仅有一个零点.
高频考点三：根据零点（根）情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题
1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数在时有极值0．
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
解：，
因为函数在时有极值0，
所以，即，
解得，
经检验符合题意，
所以；
(2)
解：由（1）得，
则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，极小值为，
因为函数有三个零点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数（a为常数）有3个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为和(2)
(1)
，定义域，
∴，
由可得，由可得或.
∴函数的单调递增区间为，
单调递减区间为和.
(2)
函数在单调递增，在和单调递减.
且当或时，.
∴的极大值为，的极小值为，
当时，；当时，.
由题意可知，则.
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)的极大值为，的极小值为(2)
(1)
因为，所以，
所以，当或时，；当时，；
所以在和单调递增，在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为；
(2)
，
当时，令，则，
所以，当或时，；当时，；
所以在和单调递增，在单调递减，
所以的极大值为，
的极小值为
又恰有三个零点，所以，解得．
综上，的取值范围为．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
当时，，
所以．
令，解得．
因为，所以切点坐标为．
故切线方程为．
(2)
因为，
所以
令，解得．
当时，由，得，
所以，则在定义域上是增函数．
故至多有一个零点，不合题意，舍去．
当时，随变化和的变化情况如下表：
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，取得最大值．
若时，，此时至多有一个零点；
若时，，又，
由零点存在性定理可得在区间和区间上各有一个零点，
所以函数恰有两个不同的零点，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
解：，
若，则当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，由得或，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，则，当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
③若，则，当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
(2)
解：当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
又，取b满足且)，则，
所以有两个零点；
当时，令，解得，所以只有一个零点；
当时，令，解得，所以只有一个零点；
当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减，
又，当时，有极大值，
所以不存在两个零点；
当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值，所以不存在两个零点；
综上，a的取值范围为.
②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数
(1)填写函数的相关性质；
(2)通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
(1)函数的定义域是，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，
当时，，当时，，
函数的值域是，
，得，所以函数的零点是，
(2)函数的图象如图，
，即，方程解的个数，即与的交点个数，
当时，无交点，即方程无实数根；
当或时，有一个交点，即方程有一个实数根；
当时，有两个交点，即方程有两个实数根.
2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
(1)由已知可得：，令，即，
解得，，
所以当或时，，当时，.
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)由（1）可知的图象的大致走势及走向，如图所示，
又，，
所以当时，直线与函数的图象有三个不同的交点，方程有三个不等实根.
3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数（，e为自然对数的底数）.
(1)若有两个不相等的实数根，求的取值范围；
【答案】(1)；(2).
(1)当时，，令，则，
当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，且，
而当时，恒成立，当时，恒成立，如图，
观察图象知，当，直线与函数的图象有两个公共点，即方程有两个不相等的实数根，
所以的取值范围是.
4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为 .
(1)求的解析式；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，则，
由题意可得，解得，所以，.
当，时，，经检验可知，函数在处取得极值.
因此，.
(2)解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
由，得或，
由，得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
(1)
，
当时，，函数在单调递增，
当时，，得
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上可知，当时，函数在单调递增，
当时，函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是
(2)
由，化简为，

设，设，则，
，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，函数的最大值，
画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，
如图，画出函数的图象，
当，时，对应的值有3个，
在单调递增，当时，
所以
6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；
(2)或.
(1)
当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
(2)
函数的定义域为，则，
令，，求导得：，由得 ，
当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，且，恒成立，函数的图象如图，
函数有一个零点，当且仅当直线与函数的图象只有一个公共点，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，
所以实数的取值范围是：或.
③构造函数研究函数零点（根）问题
1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数（e为自然对数的底数），（），.
(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；
(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)
设曲线的切点坐标为，
由，所以过该切点的切线的斜率为，因此该切线方程为：
，因为直线与函数的图象相切，
所以，
因为直线与函数的图象相切，且函数过原点，
所以曲线的切点为，于是有，
即；
(2)
由可得：，
当时，显然不成立，
当时，由，
设函数，，
，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为，
而，当时，，函数图象如下图所示：
方程有两个不同的实数解，
转化为函数和函数的图象，在当时，有两个不同的交点，由图象可知：，
故a的取值范围为.
2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数.
(1)若与在处有相同的切线，求实数的取值；
(2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
设公切线与的图像切于点，
在处的切线为，
由题意得：；
(2)
当时，，①
，①式可化为为，
令
令，，
在上单调递增，在上单调递减.
，当时，
由题意知：
3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数，，．
(1)当时，函数有两个零点，求的取值范围；
(2)当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)；(2),.
(1)
当时，，
由得：，即，
令，则，
∴时，在内递增，
时，在内递减，
时，在内递减，
时，在内递增，
∴极大值，极小值，
∴在上值域为，在上值域为，在上值域为，在上值域为，
∴要使函数有两个零点，则；
(2)
当时，由得：．
令，则．
令，则，即在上单调递增，又，，
∴在上有唯一零点，此时在上递减，在,上递增．
，
令，则，故上，在上，
∴在上递减，在上递增，则，即，
∴．
当时，；当时，．
①若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；
②若，即，因为在,上单调递减，在,上单调递增，
所以时，，，所以无整数解，不合题意；
③若，即，此时，故0，1是的两个整数解，
又只有两个整数解，因此且，解得．
∴,．
4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)时，在上单调递减；
时．在单调递增，上单调递减(2)
(1)
由题得的定义域为，
当即时，在上单调递减；
当即时，，
所以，在上单调递增；在上单调递减
综上，时，在上单调递增；
时，在单调递增，上单调递减
(2)
设，，
设，，
由得，，，
∴，在上单调递增，即单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增，
又，此时关于x的方程有且只有一个实数解，
②当，即时，令，，
当时，，，故，
∴，则，
又，故，，
当时，，单调递减，又，
∴在内，关于x的方程有一个实数解1，
当时，，单调递增，且，
令，
若，，
故在单调递增，则，
∴时，在单调递增，故，即，又，
由零点存在定理可知，，，
∴在，关于x的方程有两个实数解，
综上，当时关于x的方程有且只有一个实数解，则．
5．（2022·河南·三模（理））已知函数，.
(1)判断函数的零点个数；
【答案】(1)一个零点
(1)
，，
设，则
因此在上单调递减，又，所以当时，，
即，在上单调递增，当时，，即，在上单调递减，所以在处有极大值，
又，故有且仅有一个零点.
6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)函数在上的零点的个数为，理由见解析
(1)
，
①当 ，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值
②当，即时，由，解得，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以时，取最小值
即
综上所述：当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)
，则
①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点.
当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，，
故函数在区间上有两个不同的零点.
②当时，由，
构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点.
综上，函数在上的零点的个数为.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．
构造函数，求导数得．
当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；
当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．
由于，
当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．
构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．
所以，实数a的取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．
因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时，与只有一个交点，不符合题意．
②当时，取上一点在点的切线方程为，即．
当与为同一直线时有得
直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．
记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．
综上所述，实数a的取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为，由得．
当时，在区间内单调递减，不满足题意；
当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．
因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．
令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．
故实数a的范围为．]
【整体点评】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
2．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点，不妨设，由得（其中）．
且．
要证，只需证，即证，只需证．
又，所以，即．
所以只需证．而，所以，
又，所以只需证．
所以，原命题得证．
[方法三]：
若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且．
又，故进一步有．
由可得且，从而．．
因为，
所以，
故只需证．
又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论.
第五部分：第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a∈R，则函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．与a有关
【答案】A
令，得.
令，，只需看两个图像的交点的个数.
所以在R上单调递增.
当时，；当时，；
所以与有且只有一个交点.
故选：A
2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由函数存在零点，则有解，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则时取得最小值，且，
所以m的取值范围是．
故选：C
3．（2022·全国·高二）函数的零点个数及分布情况为（ ）
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，内
C．三个零点，分别在，，内
D．三个零点，分别在，，内
【答案】A
或，
或，
在单调递减，在单调递增，
是的极小值点，是的极大值点，且，
在恒成立，且，，
在存在唯一零点，
故选：A
4．（2022·全国·高二）直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为，
所以，
令，解得或，
由，解得或，
由，解得，
所以在上递增，在递减，在递增，
当时，取得极大值且为，
当时，取得极小值且为，
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，
所以实数的取值范围为，
故选：A
5．（2022·全国·高二）已知函数，若函数有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
依题意可知的图象与的图象有两个公共点，
画出的图象与的图象如下图所示，
由图可知，与相切，设切点为，
，故斜率为，所以，则斜率.
故选：A
6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数，，其中为自然对数的底数，若方程存在两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
函数的定义域为，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，；
令，
是图象关于对称的，开口方向向上的二次函数，；
当且仅当，即时，方程有两个不同的实根，
由得：，即的取值范围为.
故选：B.
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A．3B．6C．9D．36
【答案】D
解：因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，
直线过点，
设，
所以在点处的的切线方程为，
即，将代入得，.
，即在函数的图象上，
.
要使方程在区间上恰有3个不等实数根，
则，即的取值范围是.
故选：A
二、填空题
9．（2022·河南焦作·二模（理））函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
由函数的零点个数等价于函数与的图象公共点个数，
由指数函数和对数函数的性质，可得它们都经过点，
又由，，可得，，
①当时，单调递增，或单调递减，两图象仅有一个交点；
②当时，结合两函数的图象，可得两个图象只有一个公共点；
③当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，可知两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点；
④当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点，
综上：实数a的取值范围为.
故答案为：
10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数恰有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
设函数，根据题意函数恰有3个零点，
即为函数的图象与直线有3个公共点，
当时，可得，令，得，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由，
作出的图象，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是．
故答案为：．
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
【答案】
整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图
故答案为：
12．（2022·全国·高二）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
.因为在上有3个不同的极值点，
所以在上有3个不同的实根，
所以在上有2个不同的实根（且不等于1）.
由，得.令，则，
显然函数在单调递减，在单调递增.
又，因为，所以.
故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知．
(1)若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：
【答案】(1)；2是的极小值点；(2).
(1)
因为，所以．
因为2是的极值点，所以，解得．
此时．
令，解得或，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以2是的极小值点．
(2)
由，得，
令，
则，
令，解得，
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值是，
而且，
故实数a的取值范围是．
14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2).
(1)
，
时，，在R上单调递减；
时，，，单调递增，
，，单调递减；
综上，时，在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
(2)
，
令，
则，
∴g(x)在(1，e)上单调递增，
∴
∴.
15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数.
(1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方；
(2)讨论方程的根的个数.
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析
(1)
设，其中，
则，
在区间上，单调递减，
又∵，即时，，∴，
∴在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.
(2)
由得，即，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴在处取得最小值，∴，
又∵当时，，当时，，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点，
∴的大致图象如图所示，
∴当时，方程的根的个数为0；
当或时，方程的根的个数为1；
当时，方程的根的个数为2.
16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数，当时，函数有极值.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
函数的定义域为R..
由题意可得：，
解得：，所以.
此时，.
令，解得：或；令，解得：.
所以在，上单增，在上单减，所以时，函数有极值，符合题意；
故解析式为.
(2)
令，解得：或.列表得：
要使关于的方程有三个解，
只需.
即实数的取值范围为.
17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极小值点；
(2)当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；
(1)
解：当时，，
所以，令，得，
当时，，当时，，
所以是函数的极小值点；
(2)
当时，令，
则，
当时，时，，时，，
所以当时，取得极小值，且，，
当，即，函数的图象与函数的图象无公共点；
当，即时，函数的图象与函数的图象有1个公共点；
当，即时，函数的图象与函数的图象有2个公共点；
当，即，函数的图象与函数的图象有1个公共点；
当，即时，或时，，时，，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，且，，
因为恒成立，
所以函数的图象与函数的图象只有1个公共点；
当，即时，恒成立，
所以在上递增，所以函数的图象与函数的图象有1个公共点；
当，即时，或时，，时，，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，且，，
因为，，恒成立，
所以的图象与函数的图象只有1个公共点.
综上： 当时，函数的图象与函数的图象无公共点；
当或 或时，的图象与函数的图象只有1个公共点；
当时，函数的图象与函数的图象有2个公共点.
0
单调递增
单调递减
定义域
值域
零点
极值点
单调性
性 质
定义域
值域
零点
极值点
单调性
性 质




单调递增区间，单调递减区间
x
1
2
+
0
-
0
+
单增
极大值
单减
极小值
单增