新高考数学一轮复习第5章 第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．（2022·山东烟台·高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是单位向量，则 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．与非零向量 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量是唯一的
D．已知 SKIPIF 1 < 0 为非零实数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
【答案】D
【详解】
单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定平行，故B错误；
非零向量 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量有 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，故D正确.
故选：D.
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相反D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，故B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，故C错；
对于D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向不确定，故D错.
故选：B.
3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 同方向的单位向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，设与 SKIPIF 1 < 0 同方向的单位向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，所求向量为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，所求向量为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去.故选：A
4．（2022·四川绵阳·高一期中）化简： SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．（2022·广东·红岭中学高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则共线的三点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
SKIPIF 1 < 0 不满足共线定理，A错误；
SKIPIF 1 < 0 不满足共线定理，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不满足共线定理，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
6．（2022·山东泰安·高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零向量，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量，
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向相同，所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
所以充分性成立，
若 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向相同，即 SKIPIF 1 < 0 ，得不出 SKIPIF 1 < 0
所以必要性不成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 成立的充分不必要条件，
故选：B.
8．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
因平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，又点M，O，N共线，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
9．（2022·山东潍坊·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则P点（ ）
A．在线段BC上，且 SKIPIF 1 < 0 B．在线段CB的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0
C．在线段BC的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 D．在线段BC上，且 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 延长线上， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
10．（2022·山西运城·高一阶段练习）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：如图，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、填空题
11．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，向量 SKIPIF 1 < 0 的模为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 m SKIPIF 1 < 0 4n SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
∴向量 SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
13．（2022·全国·高一专题练习）如图所示， SKIPIF 1 < 0 中，F为BC边上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，连接DF并延长，交AC于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)解：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·安徽·高一期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交射线 SKIPIF 1 < 0 、射线 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小整数值．
【答案】(1)3(2)2
(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故实数 SKIPIF 1 < 0 的最小整数值是2．