新高考数学一轮复习第5章 第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．（2022·全国·高一课前预习）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的( )
A．北偏东15°B．北偏西15°
C．北偏东10°D．北偏西10°
【答案】B
【详解】
由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.
故答案为B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图,设 SKIPIF 1 < 0 两点在河的两岸,在A所在河岸边选一定点C,测量 SKIPIF 1 < 0 的距离为50m, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则可以计算 SKIPIF 1 < 0 两点间的距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
解:在三角形 SKIPIF 1 < 0 中,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由正弦定理: SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A
3．（2022·全国·高三专题练习）若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，则点A在点B的（ ）
A．北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上B．北偏西 SKIPIF 1 < 0 方向上
C．北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上D．北偏西 SKIPIF 1 < 0 方向上
【答案】A
由题意，点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，可得几何位置关系如下图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故点A在点B的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上
故选：A
4．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 SKIPIF 1 < 0 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 元B． SKIPIF 1 < 0 元C． SKIPIF 1 < 0 元D． SKIPIF 1 < 0 元
【答案】C
由题意，三角形空地的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 改造费用为50元 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 这块三角形空地的改造费用为： SKIPIF 1 < 0 元.
故选：C.
5．（2022·江苏·高一课时练习）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 SKIPIF 1 < 0 时到达一座灯塔 SKIPIF 1 < 0 的南偏西 SKIPIF 1 < 0 距塔 SKIPIF 1 < 0 海里的 SKIPIF 1 < 0 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 SKIPIF 1 < 0 处，则这艘船航行的速度为
A． SKIPIF 1 < 0 海里/时B． SKIPIF 1 < 0 海里/时
C． SKIPIF 1 < 0 海里/时D． SKIPIF 1 < 0 海里/时
【答案】A
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 海里/时，选A.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已经测得两个角 SKIPIF 1 < 0 ，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组
① SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴可求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ：△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ：可求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则在△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ：可求 SKIPIF 1 < 0 ，则在△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 ；
∴①②③都可以求 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二、多选题
7．（2022·湖南·宁乡市第九高级中学高一期中）为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
因为A，C在河的同一侧，所以可以测量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ABC
8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）某货轮在 SKIPIF 1 < 0 处看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在货轮北偏东 SKIPIF 1 < 0 ，距离为 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 处看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在货轮的北偏西 SKIPIF 1 < 0 ，距离为 SKIPIF 1 < 0 .货轮由 SKIPIF 1 < 0 处向正北航行到 SKIPIF 1 < 0 处时，再看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在南偏东 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 处与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离是 SKIPIF 1 < 0 B．灯塔 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离是 SKIPIF 1 < 0
C．灯塔 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的西偏南 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在灯塔 SKIPIF 1 < 0 的北偏西 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
在 SKIPIF 1 < 0 中，由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 处与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以灯塔 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 灯塔 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的西偏南 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 灯塔 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的南偏东 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在灯塔 SKIPIF 1 < 0 的北偏西 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ABC．
9．（2022·全国·高一单元测试）某货轮在 SKIPIF 1 < 0 处看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在货轮北偏东75°，距离为 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 处看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在货轮的北偏西30°，距离 SKIPIF 1 < 0 ．货轮由 SKIPIF 1 < 0 处向正北航行到 SKIPIF 1 < 0 处时，再看灯塔 SKIPIF 1 < 0 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 处与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离是 SKIPIF 1 < 0 ；B．灯塔 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处之间的距离是 SKIPIF 1 < 0 ；
C．灯塔 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的西偏南60°；D． SKIPIF 1 < 0 在灯塔 SKIPIF 1 < 0 的北偏西30°．
【答案】AC
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以灯塔 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的西偏南 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在灯塔 SKIPIF 1 < 0 的北偏西 SKIPIF 1 < 0 处，故D错误.
故选：AC
三、填空题
10．（2022·河北深州市中学高一期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， SKIPIF 1 < 0 为某区的一条健康步道，其中 SKIPIF 1 < 0 为线段， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则该健康步道的长度为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由直角三角形三角函数的定义知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以半圆 SKIPIF 1 < 0 的弧长为 SKIPIF 1 < 0 .
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以健康步道的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．（2022·浙江·高三专题练习）如图，无人机在离地面的高 SKIPIF 1 < 0 的A处，观测到山顶M处的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，山脚C处的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则山的高度 SKIPIF 1 < 0 为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 m
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由图知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 m
四、解答题
12．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 间的距离，开车从 SKIPIF 1 < 0 点出发，沿正西方向行驶 SKIPIF 1 < 0 米到达 SKIPIF 1 < 0 点，然后从 SKIPIF 1 < 0 点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 SKIPIF 1 < 0 点，再从 SKIPIF 1 < 0 点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口 SKIPIF 1 < 0 点处，测得 SKIPIF 1 < 0 间的距离为1000米.
(1)若隧道口 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的北偏东 SKIPIF 1 < 0 度的方向上，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求隧道口 SKIPIF 1 < 0 间的距离.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)1000米.
(1)在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故两隧道口 SKIPIF 1 < 0 间的距离为1000米.
13．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求B；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且________，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)选① SKIPIF 1 < 0 ；选② SKIPIF 1 < 0 .
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)选①，因为 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
选②，因为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，在边 SKIPIF 1 < 0 上分别取 SKIPIF 1 < 0 两点，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使顶点A正好落在边 SKIPIF 1 < 0 上，求线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠性质可知 SKIPIF 1 < 0 两点关于折线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则取得最小值 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .