新高考数学一轮复习第6章 第04讲 数列求和 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故原式 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·海南华侨中学高二期中）数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2022C． SKIPIF 1 < 0 D．2019
【答案】B
解：设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
4．（2022·江苏常州·高二期中）已知数列满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A．25B．26C．27D．28
【答案】B
因为数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上式相加，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等式相等，故选B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
由① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，其前20项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
SKIPIF 1 < 0
∴其前10项和为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则此数列奇数项的前m项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为当n=1时， SKIPIF 1 < 0 不满足，所以数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项开始成等比数列，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项构成的数列的前m项和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
8．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）公差为d的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
由题意得，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A、B正确；
得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（2022·广东·执信中学高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等比数列B． SKIPIF 1 < 0 为等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 为递减数列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
对 SKIPIF 1 < 0 ：因为 SKIPIF 1 < 0 不是常数，故数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ：由上述推导可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：因为 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
三、填空题
11．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，又记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
由对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2022·浙江·模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】2
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
四、解答题
13．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(1)由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设公差为d， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·四川·威远中学校高一阶段练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得， SKIPIF 1 < 0
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 时上式也成立，
即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
B能力提升
1．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项的和为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
由题意可知，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，以上各式累加得，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且n ≥ 2，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】960
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时，有 SKIPIF 1 < 0 ；当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：960.
4．（2022·全国·高二课时练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列从第5项到第15项的和为______．
【答案】1504
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 从第5项到第15项的和：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1504．
5．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，首项 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ..
6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）已知数列{an}的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和Tn；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求对所有的正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 成立的k的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，bn＝2n﹣1 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
当n＝1时，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ②，
①﹣②得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列{an}是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列；
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．
所以bn+1﹣bn＝2（常数），
所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝2n﹣1 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①﹣②得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递减数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1，
因为对所有的正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 都成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需满足 SKIPIF 1 < 0 即可，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故k＜2，则k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
C综合素养
1．（2022·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，第2代“勾股树”中，正方形的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的最小值为9．
故选：C．
2．(多选）（2022·安徽·六安一中高二期中）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为 SKIPIF 1 < 0 ，如： SKIPIF 1 < 0 的前n项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
从第一行开始，每一行的数依次对应 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在 SKIPIF 1 < 0 中去掉， SKIPIF 1 < 0 取的就是第12行的第2项， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，这11行中共去掉了22个1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对 SKIPIF 1 < 0 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·辽宁·高二阶段练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，在图①中取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则 SKIPIF 1 < 0 ___________； SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，设
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，作差得：
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．