新高考数学一轮复习第6章 第05讲 数列章节总结 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：数列前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 法
题型二：数列前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 法
题型三：累加法；累乘法
题型四：构造法
题型五：倒数法
题型六：隔项等差(等比）数列
二、数列求和
题型一：倒序相加法
题型二：分组求和法
题型三：裂项相消法
题型四：错位相减法
题型五：奇偶项讨论求和
题型六：插入新数列混合求和
一、数列求通项
题型一：数列前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 法
例题1．设正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以7为首项，3为公差的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 为公差为3的等差数列，通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
例题3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
⑴ SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
例题5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．（2）证明见解析
由已知得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，①
得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也适合此式，
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
例题6．各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ①，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①-②得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1，首项为1的等差数列.
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0
例题7．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ①
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题8．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
解：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例题9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
证明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由已知易得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列；
例题10．已知首项为1的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又当n＝1时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
题型二：数列前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 法
例题1．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时也符合，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 由于： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
例题3．设各项为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列.
(2)由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0
例题4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，也符合 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
例题5．设首项为2的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘法得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
例题6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)解：因为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：累加法；累乘法
例题1．（1）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是正项数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
例题3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：由题意，当 SKIPIF 1 < 0 时，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
各项相加，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 也成立，
SKIPIF 1 < 0 -1 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 .
例题4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题5．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(1)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
例题6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
由已知 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
根据累乘法得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于该式对于 SKIPIF 1 < 0 也成立，于是数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ；
例题7．数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等比数列，前三项和为14，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设 SKIPIF 1 < 0 的公比为q， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的公比为p，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 符合上式，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
例题8．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 n项和， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求正整数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)由题意知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
经检验， SKIPIF 1 < 0 也符合 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
例题9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 满足，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
例题10．数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
与条件等式两边相减，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 =1,
SKIPIF 1 < 0 .
故有 SKIPIF 1 < 0
所求通项公式分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
题型四：构造法
例题1．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例题4．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项、公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例题5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =1，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 =1，公差为1的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
例题6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
【答案】（1）证明见解析；
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列
例题7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ．
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五：倒数法
例题1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列
例题2．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 .
例题3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
例题4．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
解：（1）由已知得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
例题5．在数列 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,并且对于任意 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 .
证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
【答案】（1）答案见解析, SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即: SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
根据等差数列通项公式可得:
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,故: SKIPIF 1 < 0 .
题型六：隔项等差(等比）数列
例题1．设各项均不等于零的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
求 SKIPIF 1 < 0 的值，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 的奇数项是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为4的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 的偶数项是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为4的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
计算 SKIPIF 1 < 0 的值，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
由② SKIPIF 1 < 0 ①得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是：数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以4为公差的等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
偶数项是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以4为公差的等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
例题3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项都不为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的奇数项和偶数项各自成等差数列且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为奇数）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为偶数 SKIPIF 1 < 0
例题4．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在， SKIPIF 1 < 0
解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
理由如下.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
假设存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，且公差均为2.
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合题意.
例题5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
解：由题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项和偶数项都是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .
例题6．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
依题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除并化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，其中 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
二、数列求和
题型一：倒序相加法
例题1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2020项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
(1)因为点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(3)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，②
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以① SKIPIF 1 < 0 ②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2021·全国·高二）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）分别求数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ①
∴ SKIPIF 1 < 0 ②
∴①+②，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
例题3．（2020·河南大学附属中学高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若记 SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ①+②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
题型二：分组求和法
例题1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
例题2．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，依题意可知：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，依题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）可知： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
例题3．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)解：设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
例题4．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 成等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题型三：裂项相消法
例题1．已知公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
(1)设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)证明：由（1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题3．等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，首项 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ..
例题4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (2)3
(1)证明：由： SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2公比为2的等比数列.
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 n的最小值为3.
例题5．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)解：设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：由（1）及 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
例题6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)解： SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ·······①，
又 SKIPIF 1 < 0 ，········②，
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
例题7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
例题8．已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的公差为2，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
(1)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，设数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)因为等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的公差为2，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)由题意可知，
SKIPIF 1 < 0
当n为偶数时，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项、2为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
题型四：错位相减法
例题1．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设 SKIPIF 1 < 0 公差为d， SKIPIF 1 < 0 公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
例题3．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 …①
SKIPIF 1 < 0 …②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设其公比为q（ SKIPIF 1 < 0 ）.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
例题5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并猜想 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想结果；
(3)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，猜得： SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
猜得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：（i） SKIPIF 1 < 0 时，猜想成立，
（ii）假设 SKIPIF 1 < 0 时猜想成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时猜想成立，
综上， SKIPIF 1 < 0 时，猜想成立，即 SKIPIF 1 < 0 .
(3)由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 记为①式
SKIPIF 1 < 0 记为②式
①式与②式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题6．已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无解．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ①，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五：奇偶项讨论求和
例题1．设各项非零的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)由(1)可知 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时，
SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 是偶数时，
SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0
例题2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列.
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
例题3．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的表达式
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 时成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当n为偶数时
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 .
例题5．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然， SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为2的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
综上可得， SKIPIF 1 < 0
题型六：插入新数列混合求和
例题1．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)抽去数列 SKIPIF 1 < 0 中点第1项，第4项，第7项，…，第 SKIPIF 1 < 0 项，余下的项顺序不变，组成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
(1)由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，也适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是关于k的减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是关于k的减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．已知公差为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)从 SKIPIF 1 < 0 中依次取出第 SKIPIF 1 < 0 项、第 SKIPIF 1 < 0 项、第 SKIPIF 1 < 0 项、…、第 SKIPIF 1 < 0 项，按照原来的顺序组成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
例题3．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数构成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，·
因为 SKIPIF 1 < 0 ，·
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
则① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，·
所以 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
(2)解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
则① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，·
所以 SKIPIF 1 < 0 ，·
所以 SKIPIF 1 < 0 .·
例题4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
(2)保持数列 SKIPIF 1 < 0 中各项先后顺序不变，在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)142
(1)解：∵ SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
当n=1时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ，
经验证当n=1时， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个1，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中对应的项数为
SKIPIF 1 < 0 ，
当k＝6时， SKIPIF 1 < 0 ，当k＝7时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
例题5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中插入 SKIPIF 1 < 0 个相同的数 SKIPIF 1 < 0 ，构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解；在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中插入 SKIPIF 1 < 0 个相同的数 SKIPIF 1 < 0 ，
构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其项数为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .