新高考数学一轮复习第7章 第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：基本立体图形
角度1：结构特征
角度2：直观图
角度3：展开图
题型二：空间几何体的表面积与体积
角度1：表面积和侧面积
角度2：体积
角度3：蚂蚁爬行最短问题
题型三：空间几何体的外接球
角度1：补形法
角度2：对棱相等型
角度3：借助三角形外心确定球心
题型四：空间几何体的内切球
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
1.1棱柱
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 SKIPIF 1 < 0
1.2棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 SKIPIF 1 < 0
1.3棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台 SKIPIF 1 < 0
2、旋转体的结构特征
2.1圆柱
（1）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 SKIPIF 1 < 0
2.2圆锥
（1）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 SKIPIF 1 < 0
2.3圆台
（1）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 SKIPIF 1 < 0
2.4球
球的表面积和体积
（1）球的表面积： SKIPIF 1 < 0
（2）球的体积: SKIPIF 1 < 0
知识点二：直观图
1、空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，两轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 , 画直观图时，把它们分别画成对应的 SKIPIF 1 < 0 轴与 SKIPIF 1 < 0 轴，两轴交于点 SKIPIF 1 < 0 , 且使 SKIPIF 1 < 0 ”(或 SKIPIF 1 < 0 ）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴 SKIPIF 1 < 0 轴或 SKIPIF 1 < 0 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴或 SKIPIF 1 < 0 轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于 SKIPIF 1 < 0 轴或 SKIPIF 1 < 0 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积
知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
常用结论
1.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离 SKIPIF 1 < 0 与球的半径 SKIPIF 1 < 0 及截面的半径 SKIPIF 1 < 0 的关系为 SKIPIF 1 < 0
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南商丘·高一期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
2．（2022·广东珠海·高一期末）正四棱台的上､下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则棱台的侧面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 倍B．4倍C． SKIPIF 1 < 0 倍D． SKIPIF 1 < 0 倍
4．（2022·山东聊城·高一期末）某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.
5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）如图， SKIPIF 1 < 0 是用斜二测画法得到的 SKIPIF 1 < 0 的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则AB的长度为______.
6．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本立体图形
角度1：结构特征
典型例题
例题1．（多选）（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
例题2．（2022·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
角度2：直观图
典型例题
例题1．（2022·广东广州·高一期末）如图所示， SKIPIF 1 < 0 是水平放置的 SKIPIF 1 < 0 的斜二测直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则以下说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形B． SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的2倍
C．B点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的周长是 SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·广西贵港·高一期末）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则原图的面积为___________.
角度3：展开图
典型例题
例题1．（2022·浙江·温州中学高二期末）若圆锥侧面展开图是圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
题型归类练
1．（2022·山西吕梁·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形B．直四棱柱是长方体
C．平行六面体不是棱柱D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
2．(多选）（2022·广西梧州·高一期末）给出下列命题：
①长方体是四棱柱；
②直四棱柱是长方体；
③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；
④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．
则正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（2022·重庆·高一阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 表示水平放置的 SKIPIF 1 < 0 根据斜二测画法得到的直观图， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴．已知四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则原平面图形的面积为________ SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·云南楚雄·高一期末）若一个圆锥的底面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧面展开图是圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该花盆的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：空间几何体的表面积与体积
角度1：表面积和侧面积
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知一个圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·河南驻马店·高一期末）已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，所有棱长均为6，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱柱的侧面积等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·重庆市第七中学校高一期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______．
角度2：体积
典型例题
例题1．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥，底面为等边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边中点，且 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求三棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（多选）（2022·江苏苏州·高一期中）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·四川乐山·高二期末（文））成都天府广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体截出的半正多面体，则该半正多面体的体积为______．
角度3：蚂蚁爬行最短问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）在① SKIPIF 1 < 0 ；②四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为24；③四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为20；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，
如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是圆柱的一个轴截面， SKIPIF 1 < 0 ，且__________．
(1)求该圆柱的体积：
(2)若用一细绳从点 SKIPIF 1 < 0 绕圆柱一周后到达 SKIPIF 1 < 0 处（如图），求细绳的最短长度．
例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 SKIPIF 1 < 0 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 SKIPIF 1 < 0 处，若该小虫爬行的最短路程为 SKIPIF 1 < 0 ，则这个圆锥的表面积为___________.
题型归类练
1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）如图，四边形ABCD为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该梯形绕AB旋转形成的几何体体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的侧面积为___________．
2．（2022·福建莆田·高一期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆台的侧面积为___．
3．（2022·广东珠海·高一期末）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________ SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）将半径为3，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 πB． SKIPIF 1 < 0 πC．2 SKIPIF 1 < 0 πD．4 SKIPIF 1 < 0 π
5．（2022·湖南邵阳·高一期末）若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆台的体积为_________．
6．（2022·全国·高一）如图，在正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一只虫子从 SKIPIF 1 < 0 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到 SKIPIF 1 < 0 点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则一只小虫从 SKIPIF 1 < 0 点沿长方体的表面爬到 SKIPIF 1 < 0 点的最短距离是___________．
8．（2022·全国·高一）如图，已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为1cm，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 SKIPIF 1 < 0 的最短路线的长为___________cm.
题型三：空间几何体的外接球
角度1：补形法
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的顶点都在同一球面上，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·河南开封·高二期末（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在同一个球面上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度2：对棱相等型
典型例题
例题1．（2022·江西·模拟预测（文））已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱锥内切球的表面积为____________．
例题2．（2022•罗湖区月考）已知在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为 ．
角度3：借助三角形外心确定球心
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知四面体 SKIPIF 1 < 0 的每个顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
例题3．（2022·陕西·长安一中三模（文））如图， SKIPIF 1 < 0 是边长为6的正三角形 SKIPIF 1 < 0 的一条中位线，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为_____；过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作球 SKIPIF 1 < 0 的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.
题型归类练
1．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥外接球表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江苏·高二）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝PB＝PC＝2，则球O的表面积为（ ）
A．48πB． SKIPIF 1 < 0 C．12πD． SKIPIF 1 < 0
4．（2022•三模拟）在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其外接球的表面积为 ．
5．（2022·广西贺州·高一期末）已知△ABC的三个顶点都在球O上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，则球O的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．36 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球，球 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，正三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为______．
7．（2022·安徽省宣城中学高二期末）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积的最小值是___________.
8．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正三角形 SKIPIF 1 < 0 的一条中位线，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，过 SKIPIF 1 < 0 的中点M作该四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为___________.
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各边长为 SKIPIF 1 < 0 .如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为__________， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球上运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长为__________.
题型四：空间几何体的内切球
典型例题
例题1．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
题型归类练
1．（2022·四川广安·高一期末（理））若正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏·高二）已知棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正四面体的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．9B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时，增加的水量约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
椎体（棱锥，圆锥）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
台体（棱台，圆台）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
球
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示
侧面积公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0