新高考数学一轮复习第7章 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．（2022·山东青岛·高一期末）下列命题正确的为（ ）
A．两条直线确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
【答案】D
选项A：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，两条异面直线不能确定一个平面，A错误.
选项B：当点在直线上时，则不能确定一个平面，B错误.
选项C：直线和平面的关系分为线在面内、线面平行、线面相交，当线面相交时，有一个公共点，C错误.
选项D：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，若两条直线没有公共点，则这两条直线是平行直线或异面直线，D正确.
故选：D.
2．（2022·北京通州·高一期末）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，则下列结论正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是相交直线D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线
【答案】D
在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，
直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不重合，即点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，A不正确；
点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 无公共点，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，C不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 无公共点，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，又 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不平行，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线，D正确.
故选：D
3．（2022·黑龙江哈尔滨·高一期末）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间中两条不相交的直线，则过 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的平面（ ）
A．有且仅有一个B．有一个或无数个C．至多有一个D．有无数个
【答案】B
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间中两条不相交的直线，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 只可能平行或者异面．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行时，则过直线 SKIPIF 1 < 0 且平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的平面有无数个；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 异面时，如图，
在 SKIPIF 1 < 0 上取一点O，过O作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 确定平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时过直线 SKIPIF 1 < 0 且平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的平面有且只有一个．
故选：B．
4．（2022·北京·高一期末）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，与直线 SKIPIF 1 < 0 互为异面直线的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
对于选项A， SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于选项B， SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于选项C，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，故C不正确；
对于选项D，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不同在任意一个平面，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线，故D正确.
故选：D.
5．（2022·广西钦州·高一期末）如图，长方体 SKIPIF 1 < 0 的12条棱中与 SKIPIF 1 < 0 异面的共有（ ）
A．4条B．5条C．6条D．7条
【答案】C
由题意，长方体 SKIPIF 1 < 0 的12条棱中与 SKIPIF 1 < 0 异面的有 SKIPIF 1 < 0 共6条
故选：C
6．（2022·四川宜宾·高一期末）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行且相等，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行且相等，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行且相等，从而 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线AE与BF所成角是 SKIPIF 1 < 0 或其补角，
设正方体棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
所以异面直线AE与BF所成角的余弦是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
7．（2022·湖北·高一期末）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 置于一个长方体中，如图所示，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 （或其补角），
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．（2022·四川达州·高二期末（理））正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，则AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0
B．若点P在矩形 SKIPIF 1 < 0 内部及边界上运动，则AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若点P在 SKIPIF 1 < 0 内部及边界上运动，则AP的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．若点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P轨迹的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 时，AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角最大为 SKIPIF 1 < 0 ，故A对.
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时,此时 SKIPIF 1 < 0 长度最大，此时AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最小，最小角为 SKIPIF 1 < 0 ,故 AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误.
SKIPIF 1 < 0 四面体 SKIPIF 1 < 0 是正四面体，棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，等边 SKIPIF 1 < 0 的中线长为 SKIPIF 1 < 0 ，故四面体的高为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故C对.点P满足 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为球心，半径为1的球面上，又因为点P在正方体内部及表面上运动，故点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的球面上运动，故面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D对.
故选:B
二、多选题
9．（2022·贵州黔东南·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 共面B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 共面D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面
【答案】ACD
如图，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，故A正确；
在正方体中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，故C正确；
由图可知， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不在同一个平面，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 既不平行也不相交，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为异面直线，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·山东日照·高一期末）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 上一点（不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与正方体表面相交形成的多边形记为 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 只可能为三角形或六边形
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线BD所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 的周长最大
D．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大
【答案】ABD
∵正方体 SKIPIF 1 < 0 ，体对角线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若向点 SKIPIF 1 < 0 方向平移,则 SKIPIF 1 < 0 为三角形， SKIPIF 1 < 0 若向点 SKIPIF 1 < 0 方向平移,则 SKIPIF 1 < 0 可能为六角形，A正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 与直线BD的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
∵当 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 为正六边形PQRSTW，
而三角形 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，根据中位线定理， SKIPIF 1 < 0 ，易得两个截面周长相等，故C错误；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 为正六边形PQRSTW，
设边长 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 向下移动时， SKIPIF 1 < 0 为六边形 SKIPIF 1 < 0 ，
结合图形可知两邻边一条增大，一条减小，且变化量相等，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而且所有六边形的高都相等，且等于 SKIPIF 1 < 0 ，两邻边夹角都为120°，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为三角形时，面积最大为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一阶段练习）已知a，b表示两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 表示平面，给出下列四个命题：①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，③若a和 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 ，则b和 SKIPIF 1 < 0 相交，④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a不可能和b互为异面直线，命题正确的序号是______．
【答案】③④
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，相交或异面，故错误；
③因为 SKIPIF 1 < 0 ，假设b与 SKIPIF 1 < 0 平行，则a与 SKIPIF 1 < 0 平行或a在 SKIPIF 1 < 0 内，与a和 SKIPIF 1 < 0 相交矛盾，故b与 SKIPIF 1 < 0 不平行；
若b在 SKIPIF 1 < 0 内，则a与 SKIPIF 1 < 0 平行或a在 SKIPIF 1 < 0 内，与a和 SKIPIF 1 < 0 相交矛盾，故b不在 SKIPIF 1 < 0 内，所以b和 SKIPIF 1 < 0 相交，故正确；
④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由异面直线的定义知，a不可能和b互为异面直线，故正确.
故答案为：③④
12．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习（文））如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
四、解答题
13．（2022·广东珠海·高一期末）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0
14．（2022·广东韶关·高一期末）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，E，F分别是AB， SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值；
(2)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)2(2)1
(1)解：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角，
在 SKIPIF 1 < 0 中，易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为2．
(2)解：在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为1．
B能力提升
1．（多选）（2022·天津一中高一期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．下列说法不正确的是（ ）
A．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为“阳马”、四面体 SKIPIF 1 < 0 为“鳖膈”
B．若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为M、N，则直线CM、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于一点
C．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若F是线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则AF与 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大值为90°
【答案】ABD
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 是“阳马”，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，显然 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 也是直角三角形，∴四面体 SKIPIF 1 < 0 是“鳖膈”，A正确；
由题意可知，MN是 SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ，即MN与 SKIPIF 1 < 0 共面，
SKIPIF 1 < 0 ，连接CM和 SKIPIF 1 < 0 并延长，必交于一点P，
则有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 =l，
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设BC=m，AC=n，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当m=n时成立，即四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
过点A作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，得垂足H， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即当F点与H点重合时，异面直线AF与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 可以取到 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ABD.
2．（多选）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A．AB与平面BCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．与AB所成的角是 SKIPIF 1 < 0 的棱共有16条D．该半正多面体的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.
则由半正多面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为AB与平面BCD的夹角，
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以AB与平面BCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
在与 SKIPIF 1 < 0 相交的6条棱中，与AB所成的角是 SKIPIF 1 < 0 的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是 SKIPIF 1 < 0 的棱共有16条，故C正确；
由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的投影点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故该半正多面体的外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：AC.
3．（多选）（2022·吉林毓文中学高一期中）已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 进行翻折，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，则在翻折的过程中有下列结论：（ ）
A．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积不变
C．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
对于A，当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，此时三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 中点到 SKIPIF 1 < 0 四点的距离相等，即 SKIPIF 1 < 0 中点为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积 SKIPIF 1 < 0 ，为定值，B正确；
对于C，假设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾， SKIPIF 1 < 0 假设错误，C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距离最大时， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大，
当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距离最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AB.
C综合素养
1．（2022·安徽蚌埠·高一期末）底面是菱形的直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)因为直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角，
因为菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
∵ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAC＝ SKIPIF 1 < 0 ，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
如图所示，连接AB1，因为AA1与AC，AB所成的角均为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以AC1＝AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1，又BC SKIPIF 1 < 0 B1C1，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为 SKIPIF 1 < 0 .

如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，

由四棱柱的性质知BD1 SKIPIF 1 < 0 AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角或补角.
设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cs 30°＝ SKIPIF 1 < 0 a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝ SKIPIF 1 < 0 a，
∴A1D1＝ SKIPIF 1 < 0 a，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠BA1D1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，cs ∠A1BD1＝ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示.则图2中两线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，在图1的六面体中实际所成的角为________，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成（如图3所示），则这个菱形的面积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
根据题意，六面体为两个正四面体的叠加，
如图 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，是对棱，由对称性知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
故六面体中实际所成的角 SKIPIF 1 < 0 ，
由六面体的正视图为菱形，可得正视图对应长度为：
则 SKIPIF 1 < 0 的正投影为 SKIPIF 1 < 0 中点，
作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中心，
SKIPIF 1 < 0 的俯视图在 SKIPIF 1 < 0 点，
由棱长为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面ABCD是边长为3的正方形， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，E为PD中点，过EB作平面 SKIPIF 1 < 0 分别与线段PA、PC交于点M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________；四边形EMBN的面积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
延伸平面 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 所在的平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，又E为PD中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形EMBN的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .