新高考数学一轮复习第7章 第04讲 空间直线、平面的垂直 (练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
对于A：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能平行，也可能异面故，故A错误.
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能平行，也可能相交，故B错误.
对于C：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 可能平行，可能相交，也可能 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
对于D：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
2．（2022·四川·模拟预测（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； ②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； ④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
【答案】B
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，①错误；
②因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则由面面垂直的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，②正确；
③因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 异面，④错误.
故选：B
3．（2022·湖南张家界·高一期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马PABCD中，侧棱 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则 SKIPIF 1 < 0 ，连接PO.因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面PAC，于是 SKIPIF 1 < 0 是直线PD与平面PAC所成的角.
因为PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，平面 SKIPIF 1 < 0 分三棱柱为上下体积相等的两部分，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 分三棱柱为两个体积相等的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为所求角， SKIPIF 1 < 0
故选：A．
5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点M在线段 SKIPIF 1 < 0 （不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个
①点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为 SKIPIF 1 < 0 的中心
②直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
③异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BM所成角为 SKIPIF 1 < 0
④三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
如图1：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正四面体，则点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为 SKIPIF 1 < 0 的中心，①正确；
如图2：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
可证平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，②正确；
如图3：根据正方体可得 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，可证中 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BM所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
如图4：∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则可知点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离即为点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0
设球心O到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．④错误；
故选：C．
6．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点M在线段 SKIPIF 1 < 0 （不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）
①异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
A．②④B．①④C．②③④D．①③
【答案】C
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角即 SKIPIF 1 < 0 （或其补角）．因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故③正确；
如图，将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开在同一平面内， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确．
7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
解：因为 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 最短，即 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点（不包含端点），设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过A作 SKIPIF 1 < 0 ，连A1O，有 SKIPIF 1 < 0 平面AOA1，如图，

于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，又AO是点A到直线EF距离最小值，则有点O与点E重合，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为正方形ABCD的边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上除端点外的点，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，令正方体棱长为1，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即E为BC中点时取“=”，此时有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
二、多选题
9．（2022·广东广州·高一期末）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，P是 SKIPIF 1 < 0 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．B到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
C．当P为 SKIPIF 1 < 0 中点时，过P、A、B的截面为直角梯形D．当P为 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 有最小值
【答案】ABC
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
设B到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
当P为 SKIPIF 1 < 0 中点时，如图1，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
∴过P、A、B的截面为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，C正确；
借助于侧面展开图，如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为最小值
若P为 SKIPIF 1 < 0 中点时，∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，这与题意相矛盾，D错误；
故选：ABC．
10．（2022·云南红河·高二期末）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，E，F，G分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直B．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
对A，由正方体 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立，所以A不正确.
对B，取 SKIPIF 1 < 0 的中点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对C，由正方体 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接DF， 由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，
由已知得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确.
对D，由B选项得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为异面直线 SKIPIF 1 < 0 所与 SKIPIF 1 < 0 所成角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2022·山东济南·高一期末）如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
如图所示，由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
母线与水平面所成角为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，点P是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，给出以下四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积为定值；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q是对角线 SKIPIF 1 < 0 上一点，则PQ＋QC长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
其中正确的序号是______．
【答案】①②④
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
正方体中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离不变， SKIPIF 1 < 0 的面积不变，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积不变，即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积为定值，②正确；
由于正方体的对面平行，因此截面 SKIPIF 1 < 0 与正方体的表面的交线相互平行，
连结 SKIPIF 1 < 0 延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线，
正方体棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此四边形 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，③错误；
正方体中，易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个全等的直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
把这两个三角形沿 SKIPIF 1 < 0 摊平形成一个平面四边形 SKIPIF 1 < 0 ，如下图，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点时， SKIPIF 1 < 0 最小．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，④正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
13．（2022·河南许昌·高一期末（文））如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)如图，取棱 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图，连接 SKIPIF 1 < 0 .由（1）中 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角.
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图．正方体 SKIPIF 1 < 0 中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：∵在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，BD， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面BAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（多选）（2022·湖南衡阳·高一期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB= SKIPIF 1 < 0 ，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．平面PAD⊥平面ABCDB．异面直线AD与PB所成的角为60°
C．二面角P－BC－A的大小为45°D．三棱锥P－ABD外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是异面直线AD与PB所成的角或其补角，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，B错；
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
以上证明有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中心，如图，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的外心，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即为外接球半径，
三棱锥P－ABD外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．D正确．
故选：ACD．
2．（多选）（2022·江苏·高二）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0
C．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离是点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍
【答案】BCD
在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，且在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，选项A错误；
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由二面角的定义可知， SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角即为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得
SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， 选项D正确.
故选：BCD.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中的侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
B．当点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
D．在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
对于选项A，若M在 SKIPIF 1 < 0 上，此时必有 SKIPIF 1 < 0 ，
证明如下：由正方体的性质得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，CM在平面 SKIPIF 1 < 0 内，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于选项B，旋转平面 SKIPIF 1 < 0 使之与平面 SKIPIF 1 < 0 共面，如图中 SKIPIF 1 < 0 , 连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，
此时 SKIPIF 1 < 0 最短为 SKIPIF 1 < 0 ，大小为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于选项C，当点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内时，由 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 圆弧，
从而动点 SKIPIF 1 < 0 轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确.
对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角,即 SKIPIF 1 < 0 或其补角，
由在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ， ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 最小值大于 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：AC
4．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，空间一动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由正方体 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内运动，
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由对称性， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹围成的封闭图形是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
所以面积 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 .将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 的位置，得到四面体 SKIPIF 1 < 0 .当二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为120°时，四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为___________；当四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为1时，以 SKIPIF 1 < 0 为球心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径的球面被平面 SKIPIF 1 < 0 所截得的曲线在 SKIPIF 1 < 0 内部的长为_______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，
因为菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
当四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为1时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即O，F两点重合，
即PO⊥底面BCD，如图2，
以 SKIPIF 1 < 0 为球心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径的球面被平面 SKIPIF 1 < 0 所截得的曲线为以O为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，
落在 SKIPIF 1 < 0 内部的长为圆周长的一半，所以长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·模拟预测）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，动点P在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，过点P作垂直于 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 ，记平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体表面所得截面多边形的面积为y，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ______，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
连接BD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .同理可证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，由等体积法 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，此时截面多边形为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 先增后减，根据对称性，当截面的位置在平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 中间，且为过 SKIPIF 1 < 0 的中点的正六边形时，边长为 SKIPIF 1 < 0 ，此时截面多边形面积最大，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
3．（2022·湖北·高一期末）如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的正切值；
(3)若点P是平面ADE内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，设点P到平面ABE的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)证明见详解；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
(1) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据二面角的定义可知， SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(3)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 重合，即点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，
在平面 SKIPIF 1 < 0 内作点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 为最小，如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .