新高考数学一轮复习第7章 第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
建立空间直角坐标系，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，使得点 SKIPIF 1 < 0 重合于点 SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的外接球表面积是（ ）
A．18πB．16πC．20πD．22π
【答案】C
解：折叠后 SKIPIF 1 < 0 重合于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠后重合后得平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到如图，
又因为 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 ，,即 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由该三棱锥对棱相等，所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为 SKIPIF 1 < 0 外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选:C
4．长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公垂线的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， SKIPIF 1 < 0 ，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面ABC的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
6．由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（ ）
A．②③B．①③C．②④D．①④
【答案】C
①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直；
②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意；
③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直；
④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意.
故选：C
7．如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将其沿着对角线 SKIPIF 1 < 0 折叠至直二面角 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到四面体 SKIPIF 1 < 0 ，则此四面体的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的外心，
过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，点E、O分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，P在正方体内部且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 SKIPIF 1 < 0 B．点O到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 D．点P到直线AB的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
如图，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故A到直线BE的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故A对；
易知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点O到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故B对；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 间的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，即为 SKIPIF 1 < 0 ，故C对；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P到AB的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D错．
故选：D
二、多选题
9．已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，若点P( SKIPIF 1 < 0 1，0， SKIPIF 1 < 0 2)为直线外一点，则P到直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】AB
由题设条件可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
P到直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点Q的距离要大于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：AB.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
C．点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
所以点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，C正确；
SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，D错误．
故选：BC.
三、填空题
11．已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________.
【答案】1
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：1．
12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面BDC1， SKIPIF 1 < 0 平面BDC1，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BDC1，
同理 SKIPIF 1 < 0 平面BDC1，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面AB1D1//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面AB1D1的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则点B到平面AB1D1的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．如图：在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
(2)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)8
(1)解：以A为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，得到四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0

(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在翻折的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 .
(1)在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 MN C平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 .
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形，以 SKIPIF 1 < 0 为折痕，将 SKIPIF 1 < 0 向一方折叠到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使D点在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影在 SKIPIF 1 < 0 上，再将 SKIPIF 1 < 0 向另一方折叠到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，形成几何体 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若点F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）如图，设D点在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在等腰 SKIPIF 1 < 0 中，O为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
∵F为 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 的中点H，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则易知 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 .∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以O为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图1，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，其中 SKIPIF 1 < 0 为斜边.若把 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 边折叠到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图2.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为斜边，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）如图，已知多面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中底面是由半圆 SKIPIF 1 < 0 及正三角形 SKIPIF 1 < 0 组成.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是半圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)半圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
(1)证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是正三角形.∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)以 SKIPIF 1 < 0 的中点为原点，以 SKIPIF 1 < 0 的中垂线所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图的空间直角坐标系
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍掉）.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得结论成立.
2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设平面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 （不含端点）上运动，当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角取最大值时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都为等边三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 垂直于面 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 不含端点）上运动，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为： SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角取最大值.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则二面角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .