新高考数学一轮复习第7章 第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 (讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
角度2：用向量法求异面直线所成角
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
题型三：距离问题
角度1：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离
角度2：点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离（等体积法）
角度3：点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离（向量法）
题型四：立体几何折叠问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．设平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直线 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
求证：（1）直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
求证：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定 SKIPIF 1 < 0 点的位置．
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·福建莆田·高二期末）若正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 底面边长为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角大小为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·河北邯郸·高一期末）如图，在圆台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）如图， SKIPIF 1 < 0 是正方体的一个“直角尖” SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 两两垂直且相等）棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为最小时， SKIPIF 1 < 0 _________．
角度2：用向量法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·山东德州·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是正方体 SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为___________.
例题2．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为__________．
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
例题3．（2022·天津一中高一期末）如图， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的正弦值；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
例题4．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3 SKIPIF 1 < 0 m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；
(2)在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，请说明理由．
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
例题2．（2022·四川雅安·高二期末（理））如图（一）四边形 SKIPIF 1 < 0 是等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折到 SKIPIF 1 < 0 位置如图（二），且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面EBCD；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）四棱雉 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， 底面 SKIPIF 1 < 0 是 等腰梯形， 且 SKIPIF 1 < 0 ， 点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点时， 求证: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 最大时， 求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小.
例题4．（2022·江苏徐州·高二期末）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 垂直于梯形 SKIPIF 1 < 0 所在的平面，矩形 SKIPIF 1 < 0 的对角线交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，说明理由.
题型三：距离问题
角度1：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离
典型例题
例题1．（2022·湖南益阳·高二期末）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，则线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度2：点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离（等体积法）
典型例题
例题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
例题2．（2022·云南保山·高一期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
角度3：点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离（向量法）
典型例题
例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折成直二面角，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为______．
例题2．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________.
例题3．（2022·全国·高二单元测试）在如图所示的几何体中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(3)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
题型四：立体几何折叠问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面五边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，得四棱锥 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小是 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）如图1所示，梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，使得平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 （如图2）.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值.
例题3．（2021·广西·高二阶段练习）将边长为2的正方形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(2)直线BE上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置，若不存在，请说明理由.