新高考数学一轮复习第8章 第07讲 抛物线 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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A夯实基础
一、单选题
1．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2．若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是（ ）．
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，由P的横坐标为3，
所以P到准线的距离为5，
故点P到焦点的距离是5．
故选：C.
3．直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F，所以 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
4．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F、M是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 的外接圆D与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线相切，则圆D与直线 SKIPIF 1 < 0 相交得到的弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
因为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于圆的半径，
又因为圆心在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交得到的弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点M为抛物线上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 为平面上定点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在准线上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
要求 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即求 SKIPIF 1 < 0 取得最小，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时 SKIPIF 1 < 0 最小，即为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线的准线的距离为3，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的最小距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 到抛物线的准线的距离为3，知 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离有最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 是抛物线的焦点， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
解：设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以问题求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，就转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
由平面几何的知识可知，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一条直线上时，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
8．已知过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右边）， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】A
由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，可得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，可得斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于准线于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线的定义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且与 SKIPIF 1 < 0 轴平行时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.
故选：A.
二、多选题
9．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足.若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 SKIPIF 1 < 0 B．焦点坐标 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的长为3
【答案】BC
由抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 焦点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A错B对；
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选:BC.
10．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 都在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上可得 SKIPIF 1 < 0 ，即抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B，分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在中线 SKIPIF 1 < 0 上，同理可得 SKIPIF 1 < 0 也在中线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为 SKIPIF 1 < 0 米，跨径为 SKIPIF 1 < 0 米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 轴建立直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
结合题意可知，该抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧．
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
13．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及取得最小值时的 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】最小值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
解：将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线内部，
设抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为2，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m，参考数据 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 水面的宽度为 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， 点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线l： SKIPIF 1 < 0 ，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点N，连PF，AN， SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线定义知， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.
故选：D
3．已知点M（0，4），点P在曲线 SKIPIF 1 < 0 上运动，点Q在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．6
【答案】C
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，该点就是 SKIPIF 1 < 0 的圆心，设 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 最小，则 SKIPIF 1 < 0 取得最大 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值即 SKIPIF 1 < 0 的最小值，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
C综合素养
1．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一点，设点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），求| SKIPIF 1 < 0 |的最小值，并指出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【答案】见解析.
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
2．已知椭圆C1： SKIPIF 1 < 0 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C1的方程；
(2)点P是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由抛物线定义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵M在C1上，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆C1的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由椭圆定义， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 .
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ．
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ．
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直准线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．