新高考数学一轮复习第8章 第07讲 抛物线 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点 SKIPIF 1 < 0 和一条定直线 SKIPIF 1 < 0 （其中定点 SKIPIF 1 < 0 不在定直线 SKIPIF 1 < 0 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的焦点，定直线 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（ SKIPIF 1 < 0 为焦准距）
（1）焦点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴，抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）焦点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴，抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）焦点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴，抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）焦点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴，抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】C
解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以焦点到准线的距离 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】C
解：设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．-8
【答案】A
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点， SKIPIF 1 < 0 ，其准线方程为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由梯形中位线得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴准线方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，若动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是抛物线.
故选：C
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离小1，则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
由题意知动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习）动点 SKIPIF 1 < 0 到y轴的距离比它到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离小2，求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
解：∵动点M到y轴的距离比它到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离小2，
∴动点M到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等．
∴动点M到轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，且 SKIPIF 1 < 0 ．
∴抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵x轴上点 SKIPIF 1 < 0 左侧的点到y轴的距离比它到 SKIPIF 1 < 0 点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ②．
综上，得动点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．（2022·江苏·高二）与点 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：由抛物线的定义可得平面内与点 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等的点的轨迹为抛物线，且 SKIPIF 1 < 0 为焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 为准线，
设抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该抛物线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，其轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型二：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交其准线于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则此抛物线方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
如图，作 SKIPIF 1 < 0 准线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 准线于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，
设准线与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.
(1)焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)顶点在原点，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)顶点在原点，以 SKIPIF 1 < 0 轴为对称轴，过点 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
(1)解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)解：根据题意，设所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离和点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以点 SKIPIF 1 < 0 为焦点，以直线 SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
(2)抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
(3)抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
(1)由题意设抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)由题意设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037B．4044C．2019D．2022
【答案】A
∵抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，
则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有 SKIPIF 1 < 0 条，
故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
例题2．（多选）（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，若点 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
B．抛物线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称
C．过点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有一个公共点的直线有且只有一条
D．点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到焦点 SKIPIF 1 < 0 距离之和的最小值为4
【答案】CD
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1，A错；
抛物线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，抛物线关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，B错；
易知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 SKIPIF 1 < 0 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 三点共线，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．D正确．
故选：CD．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线开口向上，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线开口向下，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选：D
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
解：因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为5的圆与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】B
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为5的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
又∵A在圆上，∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
典型例题
例题1．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上移动，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
如图所示，过 SKIPIF 1 < 0 点作准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义，知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上移动时， SKIPIF 1 < 0 的值在变化，显然 SKIPIF 1 < 0 移动到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
例题2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
记抛物线的准线为l，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，定点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为拋物线上的动点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________，此时点 SKIPIF 1 < 0 坐标为__________．
【答案】 3 SKIPIF 1 < 0
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于准线，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于准线， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取到最小值时，且为 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标相同，可设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： 3； SKIPIF 1 < 0
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，F为抛物线的焦点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】4
解：如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴要求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
当D，M，P三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，
最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为___________.
【答案】3
因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，F为抛物线的焦点， SKIPIF 1 < 0 为平面内一定点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】5
由题意，抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 向准线作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 共线时，和最小；过点 SKIPIF 1 < 0 向准线作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以最小值为5.
故答案为：5.
5．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之和的最小值为___________．
【答案】1
由抛物线 SKIPIF 1 < 0 可知其焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之和的最小值为1.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，F为抛物线C的焦点，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以抛物线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
角度2：利用函数思想求最值
典型例题
例题1．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．12
【答案】B
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
例题2．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上运动，且设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
易知 SKIPIF 1 < 0 即为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，上式 SKIPIF 1 < 0 ，取等条件： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值 SKIPIF 1 < 0
故选：A．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
解：由题意，抛物线的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上运动，过点 SKIPIF 1 < 0 引直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】C
圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时 SKIPIF 1 < 0 最小，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知F是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，A为抛物线上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 取最大值时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
由题设及抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小，则 SKIPIF 1 < 0 共线且 SKIPIF 1 < 0 ，故只需 SKIPIF 1 < 0 最小，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点A在C上，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，代入得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 SKIPIF 1 < 0 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】A
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2021·全国·高考真题）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
抛物线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
其到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 舍去).
故选：B.
4．（2021·全国·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的焦点 SKIPIF 1 < 0 ,
∵P为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
所以P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
因为Q为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以Q在F的右侧，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 轴与于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为_______； SKIPIF 1 < 0 的面积为_______．
【答案】 5 SKIPIF 1 < 0
因为抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5； SKIPIF 1 < 0 .标准方程
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
图形
范围
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对称轴
SKIPIF 1 < 0 轴
SKIPIF 1 < 0 轴
SKIPIF 1 < 0 轴
SKIPIF 1 < 0 轴
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
准线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
通径长
SKIPIF 1 < 0