新高考数学一轮复习第8章 第12讲 平面解析几何 章节总结 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：直线与方程
角度1：直线的倾斜角与斜率
角度2：两条直线的平行与垂直
角度3：直线方程
角度4：直线的交点坐标与距离
题型二：圆与方程
角度1：圆的方程
角度2：直线与圆的位置关系
角度3：圆与圆的位置关系
题型三：圆锥曲线
角度1：根据定义求轨迹方程
角度2：求圆锥曲线的标准方程
角度3：离心率
角度4：中点弦问题
角度5：焦点三角形中的问题
角度6：圆锥曲线中的定点问题
角度7：圆锥曲线中的定值问题
角度8：圆锥曲线中的定直线问题
角度9：圆锥曲线中的向量问题
角度10：圆锥曲线中的最值、范围问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与方程
角度1：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．以上都不对
【答案】A
如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或
故选：A
例题2．（2022·四川凉山·高二期末（文））已知实数满足，则的取值范围（ ）
A．-1mB．-1m<0或0C．m或m-1D．m1或m-1
【答案】C
就是点 ，所确定的直线的斜率，而在 上，因为 ，.
故选：C
同类题型归类练
1．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
直线经过定点.
因为，所以,
所以要使直线与线段没有公共点，
只需：，即.
所以的取值范围是.
故选：A
2．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由得：，
令，解得：，直线恒过定点；
由得：，
由此可得曲线的图形如下图所示，
由图形可知：当直线过点时，直线斜率为，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，
即，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
角度2：两条直线的平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））是直线与直线互相平行的（ ）条件
A．必要而不充分B．充分而不必要
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
由解得或，当时，与平行，
当时，与平行，
则直线与直线平行等价于或，
所以是直线与直线互相平行的充分而不必要条件.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
因为，所以，所以，，
所以
，
当且仅当即，时取等号，的最小值为，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期末）已知直线：与直线：平行，则a的值是（ ）
A．B．1C．或1D．4或
【答案】B
因直线：与直线：平行，
则有，解得或，
当时，直线：与直线：平行，
当时，直线：与直线：，即重合，
所以a的值是1.
故选：B
2．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．或1D．或
【答案】B
直线与直线垂直，等价于，解得或，
所以直线与直线垂直的充分不必要条件是B选项.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
因为，所以，即，
因为，，所以，，
所以
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：D.
角度3：直线方程
典型例题
例题1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
例题2．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）直线过点且与点的距离最远，那么的方程为______．
【答案】
直线过点且与点的距离最远，
则直线与直线AB垂直，
直线的斜率为：，
直线的方程为，即．
故答案为：.
2．（2022·贵州遵义·高二期末（文））过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为______．
【答案】或
解：因为双曲线的渐近线为，
过点与垂直的直线方程为，即；
过点与垂直的直线方程为，即；
故答案为：或.
3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．
【答案】
由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，
故方程为，化为一般方程为.
故答案为：.
角度4：直线的交点坐标与距离
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
当，直线和平行，不满足题意，
故，此时联立方程，解得，
因为交点在第二象限，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：
例题2．（2022·江西上饶·高二期末（文））双曲线的右焦点到直线的距离为___________.
【答案】
双曲线，则，，
所以，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
例题3．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
【答案】
函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）两平行线与之间的距离为______．
【答案】
因为直线，即为，
所以两平行直线与之间的距离为
.
故答案为：.
2．（2022·青海海东·高二期末（理））我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.
【答案】
因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.
故答案为：
题型二：圆与方程
角度1：圆的方程
典型例题
例题1．（2022·陕西咸阳·高一期末）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
【答案】或
或或
设圆的一般方程为，
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
故答案为：或
或或
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程．
【答案】
由已知条件，所求圆一定是以直线被圆截得的弦为直径的圆，
由方程组，解得直径的两端点分别为，，线段的中点为即所求圆的圆心，，则，
所求圆的方程为.
2．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
(1)点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
(2)两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
角度2：直线与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知圆.
(1)过点作圆的切线l，求切线l的方程；
(2)设过点的直线与圆交于两点，若点、分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线得方程.
【答案】(1)或；
(2)或
(1)由可得，
即圆心为，半径，
显然当直线斜率不存在时，是圆的切线，
当直线斜率存在时，设直线为，即，
由圆心到直线的距离，解得，
故切线为或.
(2)因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故,
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，由知，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
故直线方程为或.
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆．
(1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值为.
(1)圆化为标准方程为：.
则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为
所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
同类题型归类练
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
【答案】(1)(2)或
(1)点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以，
所以光线的方程为.
(2)设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即,
化简得：,
解得或,
所光线的方程为或.
2．（2022·四川乐山·高一期末）已知直线l过点交圆于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)(2)
(1)圆的圆心，半径
因为直线l的斜率为，
则过点的直线l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以．
(2)由题知，当直线时，最小，此时，
故直线l的方程为，即．
角度3：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆：，其中．
(1)已知圆与圆：外切，求的值；
(2)如果直线与相交所得的弦长为，求的值．
【答案】(1)；(2).
（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(1)证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
(2)解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
(3)解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
例题3．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
【答案】(1)或(2)
(1)解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
(2)解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）求圆与圆的公共弦的长．
【答案】
根据题意，设两圆的交点为和，
又由圆，圆，
则直线的方程为，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则,
即圆与圆的公共弦的长为.
2．（2022·天津西青·高二期末）已知圆：，直线：.
(1)求证：直线与圆相交，并求相交所得弦中最短弦的长；
(2)若圆：，圆､直线三者有公共点，求的值.
【答案】(1)证明见解析，(2)
(1)易知直线：恒过点，
，点在圆内，
直线与圆相交，
圆的圆心坐标为，半径为.
当点为弦中点时，弦长最短，此时半弦､､半径构成以半径为直角边的直角三角形.
，所求最短弦的长为.
(2)圆与圆的公共点在直线上，
即在直线上，
，
点在直线上､在圆内，且圆､圆､直线有公共点，
直线：与直线重合.
，解得即为所求.
题型三：圆锥曲线
角度1：根据定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）若动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【详解】
，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或
故答案为：或
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是___________.
【答案】
由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
【答案】
设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
2．（2022·全国·高二专题练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
【答案】见解析
解：由题意，，
当时，点P到点、的距离之和为8，所以动点P的轨迹为线段，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以由椭圆的定义知动点P的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以动点P的轨迹不表示任何曲线，无轨迹方程.
3．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【答案】或．
解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
角度2：求圆锥曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
例题2．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为：
故选：C.
例题3．（2022·上海徐汇·高二期末）以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为___________．
【答案】
由题意设抛物线方程为（），
则，，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））焦点在x轴上的椭圆过点，离心率，则其标准方程是______________．
【答案】
解：设椭圆的标准方程为，
则有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的离心率为,为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆方程为________.
【答案】或
由椭圆的离心率，则c，
由则，
不妨设椭圆方程为
所以焦点关于：的对称点设为，则
，解得，
由点在椭圆上，得
由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在轴上，
所以椭圆的标准方程为：或．
故答案为：或.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．
【答案】
根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方，
所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且；
又，所以；
又1，即1，
解得，，
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：
4．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
角度3：离心率
典型例题
例题1．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图，过点P作于点H，
∵，
∴，∴.
∵，∴.
∵，且，∴，则
由余弦定理得，
化简得.
例题2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是、，点是双曲线右支上一点，满足，若以点为圆心，为半径的圆与圆内切，与圆外切，其中，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由已知可得，所以，
由余弦定理可得，可得，
，因此，.
故选：C．
例题3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标中，双曲线：的右焦点为，点是在第一象限内的点，延长交于另一点，使得，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
如图，记的左焦点为，连接，，
由双曲线的对称性知，，所以，
在上，根据双曲线性质知：，即．
因为，所以．
因为，，，而，
所以，即是直角三角形，故．
在中，，整理得，
所以．
故选：B．
例题4．（2022·全国·模拟预测）设是椭圆C：的上顶点，是上的一个动点，当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
设，，因为，，
所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
2．（2022·四川成都·模拟预测（理））椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，化简得
，即，则，，因为 ，所以
解得或（舍），
故选：B.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是C左支上一点，点B是C渐近线上一点，O为坐标原点．若，则C的离心率为_________．
【答案】
如图，不妨设在第三象限，则在上，，又，则，则，
则的纵坐标为，代入得，则，由可得，，
又为中点，则为中点，则，又在上，则，
整理得，则离心率为.
故答案为：.
4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
【答案】
由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：
5．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
【答案】
解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
角度4：中点弦问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知椭圆＋＝1()的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为(1，－1)，则的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
例题2．（2022·云南曲靖·二模（文））设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
即．
因为点，在双曲线上，所以有，，
化简可得：，
所以有，离心率为．
故选：D．
例题3．（2022·四川绵阳·二模（理））已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为_________.
【答案】
设又，
因为，所以，
又，则，得
则直线的斜率为，故直线的方程为，
化简为．
联立，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
2．（2022·全国·三模（理））已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
3．（2022·上海·模拟预测）已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．
【答案】
由于的中点坐标为且满足直线方程，
即有，解得，则的中点坐标为．
设，，由得，
则，
∵的中点坐标为，∴，即，
则，即，故，
又，
解得，故．
∴椭圆方程为．
故答案为：．
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室一模（文））已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.
【答案】
设，，，在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
又为线段的中点，所以
，即，即，所以.
故答案为：
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为______．
【答案】
设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以的方程为：，即，
故答案为：.
角度5：焦点三角形中的问题
典型例题
例题1．（2022·江苏南京·高三开学考试）双曲线的左､右焦点分别为为左支上一动点，直线与的右支交于点，且与的周长相等，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
记的焦距为，则，
又与的周长相等，即，
又，且，即，
所以.
故选：B.
例题2．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））若为椭圆：的右焦点，为上两动点，则周长的最大值为（ ）
A．4B．8C．10D．20
【答案】D
解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
例题3．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点，为的中点，且，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：由，即，又，且，
解得或（舍去），
由且为的中点，知，
∴，
∴，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A
例题4．（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
【答案】
由，且，

在中，∠

.
故答案为：
例题5．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线1的左、右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则________．
【答案】
根据题意得、，
设的内切圆分别与切于点，与切于点，
则，，，
又点在双曲线右支上，
，故，而，
设点坐标为，
则由可得，解得，
故，
则的内切圆的圆心在直线上，
延长交于，在三角形中，由题意得，三角形是一个等腰三角形，，
在三角形中，有，
．
故答案为：1.
同类题型归类练
1．（2022·江西九江·三模（理））双曲线的左右焦点分别为，，为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，
∴，
∴，
故选：A.
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
由，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，可得：.
由双曲线的定义可得：，而，解得：.
由余弦定理得：
所以90°.
故选：D
3．（2022·陕西·长安一中三模（文））已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.
【答案】##
由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）.
设点P的坐标为（，），则，
，即①，
∵第一象限点P在C上，
∴则，即②，
联立解得
由椭圆的定义得
设的内切圆半径为r，则
又∵，
∴，即.
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
，．
在中，，
．
故答案为：.
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则______．
【答案】
因为，，所以，．设，根据椭圆定义可得，所以．因为，所以，所以，即，解得．所以，则，，所以．
故答案为：
6．（2022·广东广州·高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
由题意，即有，根据相似关系可得，设，则，在双曲线的左支，则，在双曲线的右支，则，又，列出勾股定理方程：，解得.在中，，，列勾股定理可得，于是，.
故答案为：.
7．（2022·上海市第三女子中学高二期末）已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)解：由题可知，的周长为12，即，所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，
又，所以，所以椭圆的方程为.
(2)解：由（1）得，则直线的方程为，
设,且，
由消去，得，，
则，
所以，
因为
所以.
即的面积为.
8．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
(1)由椭圆可知，，，
则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
(2)，，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
角度6：圆锥曲线中的定点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线，过点的直线和相互垂直（斜率存在），、分别是和的中点．求证：直线过定点．
【答案】证明见解析
设直线为， ，
可得且，
由，，两式相减得到，即，
又由，解得，即，
（1）当时，M点即是P点，此时，直线MN为x轴．
（2）当时，将上式M点坐标中的换成，同理可得．
①当直线不垂直于x轴时，直线的斜率，
其方程，化简得，
此时直线过定点．
②当直线垂直于x轴时，，此时，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
例题2．（2022·湖北·武汉市第十一中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点满足．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若动点在双曲线上，设双曲线的左支上有两个不同的点，，点，且，直线与双曲线交于另一点．证明：动直线PB经过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)因为，
所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，
则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；
(2)证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，
易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，
设，，则，
联立，化简得：，
直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，
又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，
∴，即，∴，
∴，∴，
化简得：，∴，
∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点．
例题3．（2022·河南·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为，过且不垂直于轴的直线交于，两点，且当的倾斜角为时，．
(1)求的方程；
(2)设为轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)当l的倾斜角为时，l的斜率为1，，则：，代入C的方程，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
由，可知，，
因为，
可知，
，
所以，
所以，C的方程为．
(2)设的外接圆与x轴的另一个交点为，
由可知，，
则直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足．
设l的斜率为k，由（1）可知，，代入，
则，即，．
设，，则，，，，
所以，
即，，
所以，为定点，则的外接圆过定点，得证.
角度7：圆锥曲线中的定值问题
典型例题
例题1．（2022·湖南郴州·高二期末）已知椭圆：的离心率为，左顶点坐标为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．
【答案】(1)(2)为定值，定值为-2
(1)由题意得
又，所以
所以，
所以椭圆C：．
(2)当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，
联立，消y可得，
则，解得或，
，
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，
所以，
综上可得（定值）
例题2．（2022·全国·高二）已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.
【答案】(1)；(2).
(1)∵虚轴长为4，
∴，即，
∵直线为双曲线C的一条渐近线，
∴，∴，
故双曲线C的标准方程为.
(2)由题意知，，，
由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
．
同类题型归类练
1．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值，理由见解析
(1)由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以
所以，为定值.
2．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别于直线交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1)(2)为定值，定值为
(1)依题意可设双曲线方程为：，
则，所以所求双曲线方程为.
(2)、、，
设， ，，
因为、、三点共线，所以，
所以即，同理得，
，，
则，
因为，所以，
∴
故（定值）.
3．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
(1)Q（x，y），由题意，得，
当时，，平方可得，
当时，，平方可得，
由可知，不合题意，舍去.
综上可得，所以Q的轨迹方程C为．
(2)不妨设，因为，所以，
从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），
又F（0，1），所以轴．要使，只需．
设直线m的方程为，代入并整理，得．
首先，，解得或．
其次，设，则，
，故.
此时直线m的斜率的取值范围为．
角度8：圆锥曲线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）设，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
(1)由点和关于点对称，得，
所以椭圆的焦点为，，由椭圆定义，得.
所以，.故椭圆的方程为.
(2)由题可知直线，直线的斜率存在，设直线的方程为，
直线的方程为.
设，，
由消去，得，
由题意，可知，则，，
由消去，得，
由，可知，设，又，
则，.
因为四边形为平行四边形，
所以，即，故.
所以.得.
所以为.
例题2．（2022··一模）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，
∴，，∵，
∴，，∴双曲线的方程为．
(2)解：设点，A，的坐标分别为，，，且，
∵，∴，
即，①
设直线的方程为，②
将②代入中整理，得，
∴，，代入①，
整理可得，得，联立②消得，
∴点落在某一定直线上．
例题3．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图．
（1）若（为坐标原点），求的值；
（2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程．
【答案】（1）4；（2）.
（1）设直线为，设，则，
由，得，则，
因为，
所以（舍）或4．
．
（2）由（1）（*） ． ．
，令
．①
由几何关系知．． 不妨设．
又
将（*）代入
．②
由①②：
又过点
．代入．

仅有一个解．
．
角度9：圆锥曲线中的向量问题
典型例题
例题1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知为曲线上一点，，为圆与轴的两个交点，直线，的斜率之积为．
(1)求的轨迹方程；
(2)过点的直线与交于，两点，若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意，不妨令，，
设，则，斜率之积为．化简得，
∴曲线C的轨迹方程为．
(2)显然点在曲线的内部，若直线与轴重合，则直线与曲线没有公共点，
当直线不与轴重合时，令直线的方程为，
联立直线方程与曲线的方程，消去并整理得
，令，，则，
，，，∴，
∵与方向相同，∴，不妨令，，则，①
，∴，②
由①②得，
∴，即，
∴，∴，∴的取值范围是．
例题2．（2022·山东济南·二模）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，椭圆上四点，，，满足，，求直线的斜率.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意可知，c=1，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，
解得（舍），，
所以椭圆方程为.
(2)设，，，，，
因为，所以，即，
又，都在椭圆上，
所以，，
即，
②-①得，
即……③，
又，同理得……④
④-③得，
所以.
例题3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
(1)若的坐标为，求的值；
(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
【答案】(1)
(2)在双曲线上；理由见解析
(3)；
(1)∵，
设，则，
因为，
所以，解得，所以，
将代入双曲线方程中，化简得，
解得或（舍去）.
所以的值为.
(2)由（1）知，，
，
设，则，
因为点在双曲线上，所以①，
②，
联立①②，得，所以，
设,所以，
因为，所以，解得，所以，
将点代入双曲线方程中，即，
所以Q在双曲线上
(3)由（1）知，，
设，，则
因为，
所以，解得，所以,
因为点Q在双曲线上，所以即，
化简得，，
∴，解得，
代入，解得.
所以的值为.
例题4．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率大于的直线交于两点，点，连接、交直线于、两点，证明：点在以为直径的圆上．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：设，由题意得，化简得，
所以曲线的方程为．
(2)证明：设、、、，
设直线的方程为且，
联立得，
，
由韦达定理可得，，
因为点在直线上，则，即，可得，
同理可得，，，
所以，
，
故点在以为直径的圆上．
角度10：圆锥曲线中的最值、范围问题
典型例题
例题1．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)由题，
由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
(2)当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理
所以
综上所述，的取值范围是.
例题2．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆上的动点，当t变化时，求的最大值；
(3)设直线和分别与直线交于点、，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
(1)设 ，依题意有 ， ，即 ，
整理得： 或 ；
(2)当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时，
必有 ， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在时， 取最大值= ；
(3)
设 ， ，当 时，有 ,
由弦长公式得 ，
，
∴ ， ，
此时 ，点P的坐标为 或 ;
综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值=，
存在，P 或P.
例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆的焦距为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点，点是椭圆上在第一象限的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与的面积分别为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：设椭圆的焦距为
由题意可知:，解得，所以；
(2)设，
由题意可知，
所以直线方程为，直线方程为；
令代入直线方程，可得，
令代入直线方程，可得，
所以
所以
又，所以，
又，所以，当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
所以，即的取值范围.
例题4．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
(2)解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即
例题5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．
(1)证明：直线直线;
(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)不妨设且，而在上，则，
所以切线斜率为，，则切线为，
整理得，令得：，由题意，则．
所以，则直线直线，得证．
(2)由（1）知：，，
所以，则，
直线
将代入得：，
，即，
在中取得：，
所以，又，
化简得：，解得，
，故的横坐标的取值范围．
第二部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2022·天津·高考真题）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
2．（2022·天津·高考真题）若直线被圆所截得的弦长为，则的值为_____．
【答案】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
3．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为
故答案为：13.
5．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
(1)设是椭圆上任意一点,,则
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
(2)设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
6．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)见解析
（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
7．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
【答案】(1)(2)交点为，在椭圆上，理由见解析
(3)6
(1)由题可得，又，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为；
(2)由，得直线的方程为：，
由，得直线的方程为：，
联立两方程，解得交点为，
代入椭圆方程的左边，得，
故直线与的交点在椭圆上；
(3)由题有
因为两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设，
直线，则，
直线，则，
所以
设，则，
因为，所以，则，即的最小值为6.