2020-2021学年安徽省六安市霍邱县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年安徽省六安市霍邱县八年级下学期期中数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣4B．x＜﹣4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+﹣3＝0B．2x2＝0
C．x3﹣x+3＝0D．4x2＝（2x﹣1）2
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
4．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．200（1+x）2＝162
C．162（1+x）2＝200D．162（1﹣x）2＝200
6．已知+＝0，那么（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
8．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣+1B．﹣1C．D．+1
9．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）一元二次方程x2＝x的根 ．
12．（5分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝ ．
13．（5分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是 尺．
14．（5分）当x分别取1，2，3，…，2021时，代数式﹣x+5所对应值的总和是 ．
三、解答题（本大题共有9题，满分90分）
15．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）（）（）．
16．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
17．（8分）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中画出一个三角形，使三边长分别为3，，5，并求此三角形的面积．
18．（8分）如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积．
19．（10分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
20．（10分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的长方形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，小道以外的区域用于种植有关植物，要使种植总面积为570平方米，则小道的宽为多少米？
21．（12分）观察与思考：①2＝；＝；．
式①验证：2＝＝＝＝；
式②验证：3＝＝＝＝．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5＝ ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
22．（12分）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
23．（14分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣4B．x＜﹣4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得4+x≥0，
解得：x≥﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+﹣3＝0B．2x2＝0
C．x3﹣x+3＝0D．4x2＝（2x﹣1）2
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可．
【解答】解：A．x2+﹣3＝0不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B．2x2＝0是一元二次方程，故B符合题意；
C．x3﹣x+3＝0，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．化简4x2＝（2x﹣1）2，得1﹣4x＝0，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．
4．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．
【解答】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n＝8，
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．
5．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．200（1+x）2＝162
C．162（1+x）2＝200D．162（1﹣x）2＝200
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．
【解答】解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2＝168．
故选：A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝现在的价格．
6．已知+＝0，那么（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）2021
＝（﹣2+1）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣+1B．﹣1C．D．+1
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【解答】解：BC＝BA＝＝，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
9．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a，b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，判断即可．
【解答】解：设方程两根设为a，b，
方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，绝对值，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案是：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．（5分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝ 6 ．
【分析】直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，
故a＝3，b＝2，
则ab＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13．（5分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是 10 尺．
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长．
【解答】解：设竹竿x尺，则图中BD＝x．
BC＝BE﹣CE＝x﹣4（x＞4），
CD＝CF﹣DF＝x﹣2（x＞2），
又在直角三角形BCD中，∠BCD＝90°，
由勾股定理得：BC2+CD2＝BD2，
所以（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
整理，得x2﹣12x+20＝0，
因式分解，得（x﹣10）（x﹣2）＝0，
解得x1＝10，x2＝2，
因为x＞4且x＞2，
所以x＝10．
答：竹竿为10尺．
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
14．（5分）当x分别取1，2，3，…，2021时，代数式﹣x+5所对应值的总和是 2032 ．
【分析】从第四个数开始代数式的值为1，一共有2018个1，再加上7、5、3就是对应值的总和．
【解答】解：原式＝|x﹣4|﹣x﹣5，
当x＝1时，原式＝7，
当x＝2时，原式＝5，
当x＝3时，原式＝3，
当x＝4时，原式＝1，
当x＝5时，原式＝，
x＝4以后每个代数式都是1，
∴有2018个1，
∴2018+7+5+3＝2032，
故答案为：2032．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简、规律型数字的变化类，熟练掌握二次根式的性质与化简，其中发现数字变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共有9题，满分90分）
15．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）（）（）．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2
＝﹣；
（2）原式＝（）2﹣（）2
＝3﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】先把方程化为两个因式积的形式，再求出x的值即可．
【解答】解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得，x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．
17．（8分）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中画出一个三角形，使三边长分别为3，，5，并求此三角形的面积．
【分析】以直角边为1和3构造斜边为，再以3和4为直角边构造斜边为5，即可得到所求三角形，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：△ABC为所求，
S△ABC＝4×3﹣×3×4﹣×3×1＝4.5．
【点评】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图．
18．（8分）如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积．
【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△ACB的形状，从而可以计算出由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积．
【解答】解：连接AC，如图所示，
∵DC＝3，AD＝4，CD⊥AD，
∴AC＝＝＝5，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是：＝＝30﹣6＝24，
即由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是24．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
19．（10分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x＝﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．
【解答】证明：（1）∵a＝2，b＝k，c＝﹣1
∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8，
∵无论k取何值，k2≥0，
∴k2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
解：（2）把x＝﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1＝0
∴k＝1
∴原方程化为2x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝，即另一个根为．
【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．
20．（10分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的长方形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，小道以外的区域用于种植有关植物，要使种植总面积为570平方米，则小道的宽为多少米？
【分析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
由题意，得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
解得：x1＝1，x2＝35（不合题意），
答：小道的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（12分）观察与思考：①2＝；＝；．
式①验证：2＝＝＝＝；
式②验证：3＝＝＝＝．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5＝ ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
【分析】（1）根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可；
（2）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
（3）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）4＝＝＝＝；
（2）5＝，
故答案为：；
（3）n＝；
证明：n＝＝＝＝．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
22．（12分）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，；
答：该斜坡的坡高BC长为10米；
（2）∵∠α＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AM＝2AN，
∵在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，
∴AN2+300＝4AN2
∴AN＝10，
∴AM＝20，
∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．
综上所述，长度增加了2米．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
23．（14分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）利润＝销售量×单位利润．单位利润为x﹣40，销售量为500﹣10（x﹣50），据此表示利润得关系式；
（3）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．
【解答】解：
（1）销售量：500﹣5×10＝450（kg）；
销售利润：450×（55﹣40）＝450×15＝6750（元）
（2）y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000
（3）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
解得：x1＝80，x2＝60
当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．
所以销售单价应为80元．
【点评】此题的创意在第三问，同时考虑进出两个方面的问题，比较后得结论．