2020-2021学年河南省济源市八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年河南省济源市八年级下学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
2．下列二次根式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4B．C．9、40、41D．9、16、25
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．AD＝BC，AB∥CDD．∠BAD＝∠ADC
6．下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形为菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5
D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直
7．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）
A．7米B．8米C．9米D．12米
8．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．点A到直线BC的距离是2B．∠BAC＝90°
C．AB＝2D．S△ABC＝10
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．2﹣
10．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（ ）
A．四条边都相等的四边形是菱形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二、填空题（每题3分，共15分）
11．计算：×＝ ．
12．在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只要填写一种情况）
13．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为 ．
14．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于 ．
15．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 ．
三、解答题（各题依次为8分，8分，9分，9分，10分，10分，10分，11分，共75分）
16．（8分）计算：
（1）
（2）
17．（8分）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（1）连接AB，求△ABC的周长．
（2）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明你的做法和理由；
18．（9分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．
19．（9分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
20．（10分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts，
（1）当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状；
（2）当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？
22．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列二次根式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先将各个选项的二次根式化简，再判断是否与是同类二次根式，是则能合并．
【解答】解：A、和是同类二次根式，故能合并，该选项符合题意；
B、和不是是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；
C、和不是是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；
D、和不是是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查合并二次根式，解题关键是判断是否为同类二次根式．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、2与3不能合并，故B不符合题意；
C、3×＝3＝6，故C符合题意；
D、÷2＝2÷2＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4B．C．9、40、41D．9、16、25
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中三条线段的长能否构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵22+32≠42，故选项A不符合题意；
∵（）2+（）2≠（）2，故选项B不符合题意；
∵92+402＝412，故选项C符合题意；
∵92+162≠252，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．AD＝BC，AB∥CDD．∠BAD＝∠ADC
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形．据此分析判断．
【解答】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D、由平行四边形ABCD中AB∥CD，可得∠BAD+∠ADC＝180°，又∠BAD＝∠ADC，得出∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
6．下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形为菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5
D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直
【分析】利用菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，符合题意；
C、直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5，正确，不符合题意；
D、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识，难度不大．
7．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）
A．7米B．8米C．9米D．12米
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，
∴折断的部分长为＝5（米），
∴折断前高度为5+4＝9（米）．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
8．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．点A到直线BC的距离是2B．∠BAC＝90°
C．AB＝2D．S△ABC＝10
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到AB、BC、AC的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项C正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项D错误；
过点A作AD⊥BC于点D，
则BC•AD＝AD＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项A正确；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．2﹣
【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AD＝AB＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝2﹣；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
10．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（ ）
A．四条边都相等的四边形是菱形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．
【解答】解：由作图的第一步可知AD＝AB，
由作图的第二步可知CD∥AB，
由作图的第三步可知AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），
故选：C．
【点评】本题考查复杂作图，菱形的判定，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．计算：×＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则和算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法运算法则：＝是解题的关键．
12．在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 AB＝CD或AD∥BC等 ．（只要填写一种情况）
【分析】直接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需添加一个条件，这个条件可以是：AB＝CD或AD∥BC等．
故答案为：AB＝CD或AD∥BC等．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
13．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为 5或 ．
【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案．
【解答】解：∵|m﹣3|+＝0，
∴m﹣3＝0且n﹣4＝0，
则m＝3，n＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
当4是斜边时，另一条直角边＝＝，
综上，第三条边长为5或，
故答案为：5或．
【点评】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于 6 ．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，AH＝DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得a，b的值．
15．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 2 ．
【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2．
【解答】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC于点P，
∵正方形ABCD边长为4，
∴BP＝BD＝×4＝2，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形，
∴FE＝BP，
∴EF的最小值为BP的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（各题依次为8分，8分，9分，9分，10分，10分，10分，11分，共75分）
16．（8分）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先算二次根式的除法，然后再算加减，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝÷﹣÷+
＝﹣+
＝2﹣+
＝；
（2）
＝3﹣1+3﹣
＝2+3﹣
＝3+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（8分）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（1）连接AB，求△ABC的周长．
（2）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明你的做法和理由；
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BC的长，然后计算△ABC的周长；
（2）取AC的中点D，连接BD，由于BA＝BC＝5，则△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC．
【解答】解：（1）∵AC＝＝2，BC＝＝5，AB＝5，
∴△ABC的周长＝2+5+5＝2+10；
（2）如图，取AC的中点D，连接BD，
∵BA＝BC＝5，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BD⊥AC
即BD为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．
18．（9分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出DC2+BC2＝BD2，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）求出AD和CD，求出BD＝10，再根据勾股定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，
∴AD＝BD，
∵AD2﹣DC2＝BC2，
∴BD2﹣DC2＝BC2，
即DC2+BC2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵AC＝16，CD：AD＝3：5，
∴CD＝6，AD＝10，
∵AD＝BD，
∴BD＝10，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC＝＝＝8．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
19．（9分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．
【解答】解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
因为BC＝800米，AC＝600米，
所以，根据勾股定理有AB＝＝1000（米）．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
20．（10分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC，
又∵BC＝DE＝3，
∴CN＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts，
（1）当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状；
（2）当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？
【分析】（1）根据题意得到AP＝BQ，根据平行四边形的判定定理得出结论；
（2）分四边形ABQP为平行四边形、四边形PQCD为平行四边形两种情况，根据平行四边形的性质定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
则BQ＝（26﹣3t）cm，
当t＝6.5时，AP＝6.5cm，BQ＝26﹣3×6.5＝6.5cm，
∴AP＝BQ，
∵AP∥BQ，
∴四边形ABQP为平行四边形；
（2）由（1）可知：当t＝6.5s时，四边形ABQP为平行四边形，
当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
综上所述，当t＝6.5或6时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形．
【点评】本题考查的是梯形、平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．
23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；
（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，∴PC＝PE，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，∴∠DCP＝∠DEP，
∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE；
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．