2020-2021学年江苏省无锡市梁溪区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市梁溪区八年级下学期期中数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了下列各式中是分式的是，下列调查适合做普查的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查适合做普查的是（ ）
A．了解全国九年级学生身高的现状
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．了解全球人类男女比例情况
D．检测长征运载火箭零部件的质量情况
4．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．这4万名考生的全体是总体
B．每个考生是个体
C．2000名考生是总体的一个样本
D．样本容量是2000
5．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．变为原来的4倍
C．变为原来的D．变为原来的
6．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对边相等
7．已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为A（0，0），B（3，﹣2），C（6，0），则点D的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，5）D．（3，2）
8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
9．已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（ ）
A．40B．20C．16D．8
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分式与的最简公分母是 ．
12．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．已知x﹣＝3，则x2+＝ ．
14．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 个．
15．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝4，则EF＝ ．
17．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ °．
18．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
三.解答题（本大题共7题，共56分）
19．（9分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
21．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．求证：AE∥CF．
22．（8分）无锡教育推出的“锡慧无锡”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“锡慧无锡”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC＝BC＝5，AB＝6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．
24．（9分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为 ．
25．（10分）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝9，OC＝15．
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作′DG⊥CO于点G点，交MF于T点．
①求证：TG＝AM；
②设T（x，y），探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当x＝6时，点P在直线MF上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可．
【解答】解：根据分式的定义可知：
A选项分母上没有字母，
故A选项不正确；
B选项分母上不含字母，
故B选项不正确；
C选项正确；
D选项是方程，所以D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，注意分式分母上有字母并且是整式是解决本题的关键．
3．下列调查适合做普查的是（ ）
A．了解全国九年级学生身高的现状
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．了解全球人类男女比例情况
D．检测长征运载火箭零部件的质量情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、解一批灯泡的平均使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、了解全球人类男女比例情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、检测长征运载火箭零部件的质量情况，适合普查，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．这4万名考生的全体是总体
B．每个考生是个体
C．2000名考生是总体的一个样本
D．样本容量是2000
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．这4万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
B．每个考生的数学成绩是个体，此选项错误；
C．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D．样本容量是2000，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．变为原来的4倍
C．变为原来的D．变为原来的
【分析】根据题意可得＝＝•，即可求解．
【解答】解：x，y同时变为原来的4倍，
则有＝＝•，
∴该分式的值是原分式值的，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质；熟练掌握分式的基本性质，准确计算是解题的关键．
6．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对边相等
【分析】举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．
【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的性质和平行四边形的性质的理解和掌握，主要检查学生是否能掌握矩形和平行四边形的性质，此题比较典型，但是一道容易出错的题目．
7．已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为A（0，0），B（3，﹣2），C（6，0），则点D的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，5）D．（3，2）
【分析】根据平行四边形的性质可得AB可通过平移与DC重合，通过点的坐标找到平移方式即可求出D．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴AB可通过平移与DC重合，
∵B（3，﹣2），C（6，0），
∴B点向右平移3个单位，向上平移2个单位与点C重合，
∴点A向右平移3个单位，向上平移2个单位得到（3，2），
∴D（3，2），
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：∵÷
＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
9．已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（ ）
A．40B．20C．16D．8
【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，求证四边形KLMN为矩形和KN．KL的长，然后即可求出四边形KLMN的面积．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，
K、L、M、N分别为四边形各边的中点，
∴四边形KLMN为矩形，
∴KN∥AC，且KN＝AC，
∵AC＝10，
∴KN＝×10＝5，
同理KL＝4，
则四边形KLMN的面积为4×5＝20．
故选：B．
【点评】此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH＝∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．
【解答】解：∵HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠ECH＝∠FCH＝30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BF＝3，
若CD与AD重合时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF＝4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点F作FM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB＝MF＝4，AM＝BF＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝5，
∴ME＝2，
∴EF＝＝＝2，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分式与的最简公分母是 2a2b2c ．
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．
故答案为2a2b2c．
【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题主要考查的是分式的有意义的条件，掌握分式的有意义的条件是解题的关键．
13．已知x﹣＝3，则x2+＝ 11 ．
【分析】将原式两边平方即可得．
【解答】解：∵x﹣＝3，
∴x2+﹣2＝9，
∴x2+＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的运算法则．
14．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 2 个．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.25，
解得：x＝2，
故袋中白球有2个．
故答案为：2．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
15．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝4，则EF＝ 1 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出EF，
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝2，
∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴EF＝CD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ 65 °．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，那么∠FAG＝40°．得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝65°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠FAG＝∠BAE＝40°．
∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答】解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：
由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，
且∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，
∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM＝AC+AB＝7，
此时AD＝AM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三.解答题（本大题共7题，共56分）
19．（9分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据同分母的分式加减法法则进行计算即可解答；
（2）先算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣1；
（2）
＝÷
＝•
＝；
（3）
＝
＝
＝x﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝a﹣1，
将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．求证：AE∥CF．
【分析】首先连接AC，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，然后可得EO＝FO，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而得到AE∥CF．
【解答】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴BO﹣BE＝DO﹣FD，
即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
22．（8分）无锡教育推出的“锡慧无锡”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“锡慧无锡”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 108 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%＝500，
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）B等级的人数为：500×40%＝200，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）2000×＝200（人），
答：估计该校需要培训的学生有200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC＝BC＝5，AB＝6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．
【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；
（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．
【解答】解：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．
理由如下：
∵BD、AC是▱ABCD的对角线，
∴点O是AC的中点，
∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，
∴AE＝BO，AO＝BE，
∵AB＝BA，
∴△ABO≌△BAE（SSS），
∴∠ABO＝∠BAE，
△ABF中，∵∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB，
∵∠BAC＝∠ABC，
∴∠EAC＝∠OBC，
由可得△AFC≌BFC（SAS）
∴∠ACF＝∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，
所以CH是△ABC的高；
（2）∵AC＝BC＝5，AB＝6，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝3，
∴CH＝＝4，
∴S△ABC＝AB•CH＝×6×4＝12，
∵AE是△ABC的中线，
∴S△ACE＝S△ABC＝6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
24．（9分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为 24 ．
【分析】（1）利用正方形的性质，即可得到△BCE≌△DCE（SAS），根据全等三角形的性质即可得到BE＝DE．
（2）依据∠EDC＝∠CBN，∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，即可得出∠2+∠CBN＝90°，进而得到DF⊥ON；
（3）过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，利用全等三角形的对应边相等，即可得到DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，BF＝BG﹣GF＝7，进而得出△BEF的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD正方形，
∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE．
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，
即DF⊥ON；
（3）如图所示，过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，
∴∠BAO＝∠CBG，
又∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝AO＝＝12，CG＝BO＝5，
同理可得△CDH≌△BCG，
∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，
∴HG＝5+12＝17，
∴DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，
∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，
∴△BEF的周长＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．（10分）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝9，OC＝15．
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作′DG⊥CO于点G点，交MF于T点．
①求证：TG＝AM；
②设T（x，y），探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当x＝6时，点P在直线MF上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△DBC中，根据DB＝，设OE＝DE＝x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可．
（2）①只要证明OM＝MF，MF＝FT即可．
②如图3中，连接OT，在Rt△OTG中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分MF为对角线，MF为边两种情形讨论即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵OA＝9，OC＝15，
∵△DEC是由△OEC翻折得到，
∴CD＝OC＝15，
在Rt△DBC中，DB＝＝12，
∴AD＝3，设OE＝ED＝x，
在Rt△ADE中，x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴E（0，5），
设直线EC的解析式为y＝kx+5，把（15，0）代入得到k＝﹣，
∴直线EC的解析式为y＝﹣x+5．
（2）①如图2中，
∵MD′＝MO，∠D′MF＝∠OMF，
∵OM∥GD′，
∴∠OMT＝∠D′TM，
∴∠D′MT＝∠D′TM，
∴D′M＝D′T，
∴OM＝DT，
∵OA＝DG，
∴AM＝TG．
②如图3中，连接OT，
由（2）可得OT＝D′T，
由勾股定理可得x2+y2＝（9﹣y）2，
得y＝﹣x2+．
结合（1）可得AD′＝OG＝3时，x最小，从而x≥3，
当MF恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，
此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，
故x最大为9．从而x≤9，
∴3≤x≤9．
（3）如图4中，x＝6时，y＝，即点T坐标（6，）．
∴OM＝D′T＝9﹣＝，
①当MD′为对角线时，点P与T重合，QM＝D′T＝，
∴OQ＝13，
∴此时点Q坐标（0，13）．
②D′M为边时，∵四边形MD′QP是平行四边形，
又∵四边形D′MOT是平行四边形，
∴点P与T重合，点Q与点O重合，
∴点Q坐标（0，0），
③当点P″在第四象限点时，四边形MD′Q″P″是平行四边形时，
∵直线FM的解析式为y＝﹣x+，
∵D′Q″∥MF，
∴直线D′Q″的解析式为y＝﹣x+13，
当y＝0时，x＝，
Q″（ ，0）
综上所述，以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，点Q坐标（0，0）或（0，13）或（ ，0）．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．