2020-2021学年江苏省盐城市滨海县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省盐城市滨海县八年级下学期期中数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，不是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查中，需要采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对某批次汽车的抗撞击能力的调查
B．对长征5B火箭发射前各零部件的检查
C．对全国中学生课外阅读情况的调查
D．对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查
3．不透明的口袋内装有红球、白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取404次球，发现有101次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）
A．5B．10C．15D．20
4．如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．x＝3B．x＝±3C．x≠3D．x＝﹣3
5．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．＝1C．2x＝x﹣5D．x﹣2y＝6
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
7．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（ ）
A．15°B．32.5°C．22.5°D．30°
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分请把答案填写在答题卡相应位置）
9．约分：分式＝ ．
10．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 （颜色）球的可能性最大．
11．为了了解我校八年级1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生数学成绩进行统计分析，这个问题中的样本容量是 ．
12．如图所示，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A旋转，使得点B′、A、C在同一条直线上，则△ABC旋转的角度是 °．
13．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为 ．
14．计算：﹣＝ ．
15．当x＝ 时，与的值相等．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、AD的中点，若AB＝8，则EF＝ ．
17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于 ．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（5分）计算：．
20．（5分）解分式方程：﹣＝1．
21．（10分）先化简，再求值：，其中b与1，5构成△ABC的三边，且b为整数．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
23．（10分）如图．在四边形ABCD中．AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点（O，M，N不重合），仔细观察你会发观．无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持对角线相等，则EF与两条对角线围成的三角形总是等腰三角形（图中的△OMN），请说明理由．
24．（10分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有 ，n＝ ；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 度；
（3）请补全条形统计图．
25．（10分）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞4），以BD为一直角边在第四象限内画等腰直角△BDE，其中∠DBE＝90．
（1）试判断线段AE、CD的数量关系，并说明理由；
（2）设DE的中点为F，直线AF交y轴于点G．问：随着点D的运动，点G的位置
是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标：若发生变化，请说明理由．
28．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；
（3）当M点在何处时，2AM+BM的值最小，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，不是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列调查中，需要采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对某批次汽车的抗撞击能力的调查
B．对长征5B火箭发射前各零部件的检查
C．对全国中学生课外阅读情况的调查
D．对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、对长征5B火箭发射前各零部件的检查，适合全面调查，故本选项符合题意；
C、对全国中学生课外阅读情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．不透明的口袋内装有红球、白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取404次球，发现有101次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出口袋中白球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
白球的个数是：20×＝5，
故选：A．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
4．如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．x＝3B．x＝±3C．x≠3D．x＝﹣3
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣3＝0且x+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3＝0且x+3≠0，
解得：x＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
5．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．＝1C．2x＝x﹣5D．x﹣2y＝6
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【解答】解：A，C，D选项的分母中不含未知数，故不符合题意；
B选项的分母中含未知数，故符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
7．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（ ）
A．15°B．32.5°C．22.5°D．30°
【分析】根据正方形的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线，
∴∠BAE＝∠ABD＝45°，
又AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分请把答案填写在答题卡相应位置）
9．约分：分式＝ ．
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
10．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 红 （颜色）球的可能性最大．
【分析】分别计算出各球的概率，然后根据概率的大小进行判断．
【解答】解：从中任意摸一球，摸到红球的概率＝＝，摸到白球的概率＝＝，摸到蓝球的概率＝，
所以从中任意摸一球，则摸到红球的可能性最大．
故答案为红．
【点评】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比．
11．为了了解我校八年级1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生数学成绩进行统计分析，这个问题中的样本容量是 200 ．
【分析】样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】解：为了了解我校八年级1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生数学成绩进行统计分析，这个问题中的样本容量是200．
故答案为：200．
【点评】本题主要考查样本容量的含义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
12．如图所示，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A旋转，使得点B′、A、C在同一条直线上，则△ABC旋转的角度是 105 °．
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝75°，
∵点B′、A、C在同一条直线上，
∴∠BAB'＝105°
∴△ABC旋转的角度是105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为 2 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝6，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BAE＝∠BEA，可求AB＝BE＝4，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
14．计算：﹣＝ 1 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15．当x＝ 时，与的值相等．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：x+1＝3x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
则x＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、AD的中点，若AB＝8，则EF＝ 2 ．
【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵D是AB的中点，且AB＝8，
∴AD＝BD，
∴CD＝AB＝4，
∵AF＝DF，AE＝EC，
∴EF＝CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线的性质解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于 60° ．
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．
【解答】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，
∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣40°＝60°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 8 ．
【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查矩形的性质和折叠的性质，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（5分）计算：．
【分析】利用分式除法的法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：
＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的法则是解决问题的关键．
20．（5分）解分式方程：﹣＝1．
【分析】先去分母，再解整式方程，一定要验根．
【解答】解：﹣＝1
（x+1）2﹣4＝x2﹣1
x2+2x+1﹣4＝x2﹣1
x＝1，
检验：把x＝1代入x2﹣1＝1﹣1＝0，
∴x＝1不是原方程的根，原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握分式方程一定要验根是解题的关键．
21．（10分）先化简，再求值：，其中b与1，5构成△ABC的三边，且b为整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角形三边关系得出b的取值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝+•
＝+
＝+
＝
＝，
∵b与1，5构成△ABC的三边，且b为整数，
∴4＜b＜6，
∴b＝5，
则原式＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
23．（10分）如图．在四边形ABCD中．AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点（O，M，N不重合），仔细观察你会发观．无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持对角线相等，则EF与两条对角线围成的三角形总是等腰三角形（图中的△OMN），请说明理由．
【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形的中位线定理得出EQ∥AC，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，根据平行线得出∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，求出QE＝QF，推出∠QEF＝∠QFE，求出∠OMN＝∠ONM即可．
【解答】解：
取AD的中点Q，连接EQ、FQ，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EQ∥AC，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，
∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，
∵AC＝BD，
∴QE＝QF，
∴∠QEF＝∠QFE，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON，
即△OMN是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（10分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有 400人 ，n＝ 35% ；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 126 度；
（3）请补全条形统计图．
【分析】（1）从两个统计图中可知，“A非常了解”的人数20人，占调查人数的5%，可求出调查人数，进而求出“D不了解”的所占的百分比；
（2）“D不了解”所占的比为35%，因此相应的圆心角为360°的35%即可；
（3）求出“D不了解”的人数，即可补全统计图．
【解答】解：（1）20÷5%＝400（人），n＝1﹣5%﹣15%﹣45%＝35%，
故答案为：400人，35%；
（2）360°×35%＝126°，
故答案为：126；
（3）400×35%＝140（人），补全条形统计图如图所示：
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提．
25．（10分）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【分析】（1）首先设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x﹣600）棵，由题意得等量关系：种植A，B两种花木共6600棵，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）首先设安排a人种植A花木，由题意得等量关系：a人种植A花木所用时间＝（26﹣a）人种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x﹣600）棵，由题意得：
x+2x﹣600＝6600，
解得：x＝2400，
2x﹣600＝4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；
（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
＝，
解得：a＝14，
经检验：a＝14是原分式方程的解，
26﹣a＝26﹣14＝12，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．
【分析】（1）由题意可得AB∥CD，AB＝CD，又由M，N分别是AB和CD的中点可得AM＝∥CN，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得CM⊥AB，AM＝3，根据勾股定理可得CM＝4，则可求面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∴AM＝CN，且AB∥CD，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝BC＝5，AB＝6，M是AB中点，
∴AM＝MB＝3，CM⊥AM，
∴CM＝，
∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥AM，
∴四边形AMCN是矩形，
∴S四边形AMCN＝12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，关键是熟练运用这些性质解决问题．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞4），以BD为一直角边在第四象限内画等腰直角△BDE，其中∠DBE＝90．
（1）试判断线段AE、CD的数量关系，并说明理由；
（2）设DE的中点为F，直线AF交y轴于点G．问：随着点D的运动，点G的位置
是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标：若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）由正方形OABC，可得BC＝BA，∠ABC＝90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD＝BE，∠DBE＝90°，再根据∠CBD＝∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，进而得出CD＝AE；
（2）过点E作PQ∥OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，判定△ADB≌△PBE，可得AD＝PB，AB＝PE，判定△ADF≌△QEF，可得AD＝QE，依据AP＝QP，可得∠AQP＝45°，依据PQ∥OD，可得∠OAG＝∠Q＝45°，进而得到△AOG是等腰直角三角形，进而得到G（0，4），点G的位置不会发生变化．
【解答】解：（1）AE＝CD．
理由：由正方形OABC，可得BC＝BA，∠ABC＝90°，
由等腰直角三角形BDE，可得BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝∠DBE+∠ABD，
即∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD≌△ABE，
∴CD＝AE．
（2）点G的位置不会发生变化．
理由：如图，过点E作PQ∥OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，
∵∠DAB＝∠P＝∠DBE＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝∠PBE+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝∠PBE，
又∵DB＝BE，
∴△ADB≌△PBE，
∴AD＝PB，AB＝PE，
∵F是DE的中点，
∴DF＝EF，
∵AD∥EQ，
∴∠DAF＝∠Q，
又∵∠AFD＝∠QFE，
∴△ADF≌△QEF，
∴AD＝QE，
∴AB+BP＝PE+EQ，即AP＝QP，
∴∠AQP＝45°，
又∵PQ∥OD，
∴∠OAG＝∠Q＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴GO＝AO＝4．
∴G（0，4），点G的位置不会发生变化．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、坐标与几何图形的关系、正方形的性质等知识点，解题的难点在于作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出△APG是等腰直角三角形．
28．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；
（3）当M点在何处时，2AM+BM的值最小，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质可得MB＝NB，∠MBN＝60°＝∠ABE，由“SAS”可证△AMB≌△ENB；
（2）由“SAS”可证△ABM≌△CBM，可得AM＝CM，即AM+CM＝2AM，根据“两点之间线段最短”，可得：当M点落在BD的中点时，2AM的值最小；
（3）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，2AM+BM的值最小．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠MBN＝60°＝∠ABE，BM＝BN，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：当M点落在BD的中点时，2AM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，
又∵BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM＝CM，
∴AM+CM＝2AM，
∴当点A，点M，点C三点共线，即点M在BD的中点时，2AM的值最小；
（3）解：如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，2AM+BM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴2AM+BM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，当E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM＝2AM+MN能取得最小值．
【点评】本题考查了四边形的综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质和旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
15%
C．基本了解
45%
D．不了解
n
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
15%
C．基本了解
45%
D．不了解
n