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初中数学北师大版（2024）八年级上册2 一定是直角三角形吗精品导学案
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册2 一定是直角三角形吗精品导学案，文件包含第02讲一定是直角三角形吗原卷版docx、第02讲一定是直角三角形吗解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
1.熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题.
2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数.
3.熟练掌握分类讨论的数学思想.
知识点01 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.
2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形.
证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x.
根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0
∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形.
【微点拨】
1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形.
知识点02 勾股数
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有： = 1 \* GB3 ①3，4，5； = 2 \* GB3 ②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数.在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2.
题型01 勾股树(数)问题
【典例1】（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．10，12，14
【变式1】（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【变式2】（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（ ）
A． 、、B．、、C．、、D．、、
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的是直角三角形的是（ ）
A．8，10，7B．2，3，4C．5，12，14D．1，，2
【变式1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10B．5，12，13C．1，，D．13，14，15
【变式2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．1，1，B．1，2，C．3，5，7D．3，4，5
题型03 图形上与已知两点构成直角三角形的点
【典例1】（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
题型04 在网格中判断直角三角形
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为_________．
【变式1】（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求的周长；
（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.
【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级期末）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)的周长；
(2)请判断是否是直角三角形，并说明理由．
题型05 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．
(1)求BD的长．
(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【变式1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，于点D，，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求点D到的距离之和．
【变式2】（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：
(1)四边形的面积．（结果保留根号）
(2)的度数．
题型06 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】（2023春·广西钦州·八年级浦北中学校考阶段练习）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积．
【变式1】（2023春·福建莆田·八年级统考期中）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得，，，，．
(1)若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．
(2)如果种植草皮的费用是200元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
【变式2】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米， 千米， 千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线的长．
一、选择题
1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·广东汕头·八年级校联考阶段练习）一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（ ）
A．60B．30C．65D．45
3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，8cmB．3cm，4cm，5cmC．3cm，4cm，8cmD．3cm，5cm，8cm
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
5．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
6．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为、、；④三边之比为5：12：13．其中是直角三角形有______个．
7．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是的三边长，且满足关系式，则的形状为__________．
8．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________．
9．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为________．
10．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
（1）线段的长为______；
（2）若，则三条线段首尾顺次相接______（填“能”或“不能”）构成直角三角形．
三、解答题
11．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知 的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）在中，是上一点，，，，，求的的周长．
13．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，
求四边形的面积．
14．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
15．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，连接．
(1)判定的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
16．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，于D， ，
(1)求的值．
(2)判断的形状，并说明理由．
17．（2022春·八年级单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是，四边形的顶点都在格点上（格点：小正方形的顶点）．
(1)四边形的边的长；
(2)连接，试判断的形状．
18．（2022春·八年级单元测试）如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．
(1)如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．
(2)现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离．
1.熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题.
2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数.
3.熟练掌握分类讨论的数学思想.
知识点01 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.
2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形.
证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x.
根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0
∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形.
【微点拨】
1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形.
知识点02 勾股数
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有： = 1 \* GB3 ①3，4，5； = 2 \* GB3 ②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数.在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2.
题型01 勾股树(数)问题
【典例1】（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．10，12，14
【变式1】（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【变式2】（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（ ）
A． 、、B．、、C．、、D．、、
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的是直角三角形的是（ ）
A．8，10，7B．2，3，4C．5，12，14D．1，，2
【变式1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10B．5，12，13C．1，，D．13，14，15
【变式2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．1，1，B．1，2，C．3，5，7D．3，4，5
题型03 图形上与已知两点构成直角三角形的点
【典例1】（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
题型04 在网格中判断直角三角形
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为_________．
【变式1】（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求的周长；
（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.
【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级期末）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)的周长；
(2)请判断是否是直角三角形，并说明理由．
题型05 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．
(1)求BD的长．
(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【变式1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，于点D，，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求点D到的距离之和．
【变式2】（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：
(1)四边形的面积．（结果保留根号）
(2)的度数．
题型06 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】（2023春·广西钦州·八年级浦北中学校考阶段练习）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积．
【变式1】（2023春·福建莆田·八年级统考期中）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得，，，，．
(1)若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．
(2)如果种植草皮的费用是200元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
【变式2】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米， 千米， 千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线的长．
一、选择题
1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·广东汕头·八年级校联考阶段练习）一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（ ）
A．60B．30C．65D．45
3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，8cmB．3cm，4cm，5cmC．3cm，4cm，8cmD．3cm，5cm，8cm
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
5．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
6．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为、、；④三边之比为5：12：13．其中是直角三角形有______个．
7．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是的三边长，且满足关系式，则的形状为__________．
8．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________．
9．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为________．
10．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
（1）线段的长为______；
（2）若，则三条线段首尾顺次相接______（填“能”或“不能”）构成直角三角形．
三、解答题
11．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知 的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）在中，是上一点，，，，，求的的周长．
13．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，
求四边形的面积．
14．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
15．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，连接．
(1)判定的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
16．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，于D， ，
(1)求的值．
(2)判断的形状，并说明理由．
17．（2022春·八年级单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是，四边形的顶点都在格点上（格点：小正方形的顶点）．
(1)四边形的边的长；
(2)连接，试判断的形状．
18．（2022春·八年级单元测试）如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．
(1)如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．
(2)现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离．
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