专题08 平行四边形与多边形（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）多边形及其相关计算
（1）多边形的相关概念：
①定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
②对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（2）多边形的内角和、外角和：
①内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
②外角和：任意多边形的外角和为360°.
（3）正多边形：
①定义：各边相等，各角也相等的多边形，
②正多边形每个内角为，每个外角为
③正n边形有n条对称轴，
④对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定
（四）三角形中位线的性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形的判定
典例1：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AEBF是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵AC∥DB，∴∠ACD＝∠BDC．
∵∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE=12OC，OF=12OD，∴OE＝OF．
又∵AO＝BO，∴四边形AEBF是平行四边形．
【变式1】（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，AE=CE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若BC=8，∠BAC=60°，∠DCB=135°，求AC的长．
【答案】(1)见详解
(2)AC的长为863
【分析】（1）证△AEF≌△CED(ASA)，得AF= CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，证△BCM是等腰直角三角形，得CM=22BC=42，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2AM，然后由勾股定理得CM=AC2−AM2=3AM=42，求出AM=463，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD,
∴∠EAF=∠ECD,
在△AEF和△CED中，
∠EAF=∠ECDAE=CE∠AEF=∠CED,
∴△AEF≌△CED(ASA),
∴AF=CD,
又∵AB∥CD,
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则∠CMA=∠CMB=90°，
∵AB∥CD,
∴∠B+∠DCB=180°,
∴∠B=180°−135°=45°,
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴CM=22BC=22×8=42,
∵∠BAC=60°，
∴∠ACM=90°−∠BAC=30°，
∴AC=2AM，
∴CM=AC2−AM2=(2AM)2−AM2=3AM= 42，
∴AM=463,
∴AC=2AM=863,
即AC的长为863．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】（2023下·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H．求证：
(1)四边形FBGH是平行四边形；
(2)四边形ABCH是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定；注意运用三角形的中位线的知识是解答本题的关键．
（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，所以四边形FBGH是平行四边形．
（2）连接BH，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC．再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点F、G是边AC的三等分点，
∴F、G分别是AG、CF的中点，
∵点D是AB的中点，
∴ DF∥BG，即FH∥BG．
同理：GH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形．
（2）连接BH，交FG于点O，
∵四边形FBGH是平行四边形，
∴ OB=OH，OF=OG．
∵ AF=CG，
∴ OA=OC．
∴四边形ABCH是平行四边形．
【变式3】（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE=BD，BE＝CD．
(1)求证：△ABE≌△BCD．
(2)连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由B是AC的中点得AB=BC，结合AE=BD，BE＝CD，根据全等三角形的判定定理“SSS”即可证明△ABE≌△BCD；
（2）由（1）中△ABE≌△BCD得∠ABE＝∠BCD，进一步得BE∥CD，再结合BE＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）解：∵B是AC的中点，
∴AB=BC．
在△ABE和△BCD中，
AE=BD,BE=CD,AB=BC,
∴△ABE≌△BCD（SSS）．
（2）如图所示，
∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD，
∴BE∥CD．
又∵BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
考点2：平行四边形的性质
典例2：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=32，∠A=45°．

(1)求出对角线BD的长；
(2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)13
(2)作图见解析
【分析】（1）连接BD，过D作DF⊥AB于F，如图所示，由勾股定理先求出AF=DF=AD2=3，在Rt△BDF中再由勾股定理，BD=DF2+BF2=13；
（2）连接EB，根据轴对称性质，过点A尺规作图作线段EB的垂直平分线即可得到答案．
【详解】（1）解：连接BD，过D作DF⊥AB于F，如图所示：

∵在▱ABCD中，AD=32，∠A=45°，
∴AF=DF=AD2=3，
∵ AB=5，
∴BF=AB−AF=5−3=2，
在Rt△BDF中，∠BFD=90°，DF=3，BF=2，则BD=DF2+BF2=32+22=13；
（2）解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．
【变式1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．求证：

(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明四边形AECF是平行四边形即可；
（2）用SSS证明△ABE≌△CDF即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AF∥EC，
又∵ AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1=∠2(平行四边形对角相等)
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE=FC，AF=CE，
∴BE=FD，
在△ABE和△CDF中，
∵ BE=FDAE=FCAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(SSS)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
【变式2】（2023·湖南·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)BF=3；△ADF的面积为93
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；
（2）根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF．
（2）解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，

∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=12AD=3，
∴DH=AD2−AH2=33，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×33=93．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2023·广西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若∠DBE=25°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)50°
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得BE=DE，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠BDE，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=CB，
∵BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB(SSS)
（2）如图，EF即为所求；
（3）∵ BD的垂直平分线为EF，
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵∠DBE=25°，
∴∠DBE=∠BDE=25°，
∴∠AEB=∠BDE+∠DBE=50°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
考点3：平行四边形的判定与性质
典例3：（2023下·江西九江·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接 MN，EF．

(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；
(2)若AD=6cm，求MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)3cm
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABFE为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得DN=FN，AM=MF，由三角形中位线定理可求解．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE=CF，
∴AE=BF．
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）∵DE=CF，AD∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DN=FN，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AM=MF，
∴MN∥AD，MN=12AD=3cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
【变式1】（2023·江西吉安·统考一模）如图，将△ABC沿AD平移，得到△DEF，连接CD，已知DE⊥AC， CD=BE．

(1)求证：AG=CG；
(2)若∠ACD=15°，求∠ABE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75°
【分析】（1）根据平移的性质得AD=BE，根据CD=BE等量代换得AD=CD，根据DE⊥AC即可得；
（2）根据平移的性质得AD=BE，AD∥BE，即可得四边形ABED为平行四边形，则∠ABE=∠ADG，根据DE⊥AC，CD=BE得△ADC为等腰三角形，∠ACD=∠DAC， 可得∠ACD=15°，即可得．
【详解】（1）证明：∵△ABC沿AD平移，得到△DEF，
∴AD=BE，
∵CD=BE，
∴AD=CD，
∵DE⊥AC，
∴AG=CG；
（2）解：∵△ABC沿AD平移，得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADG，
∵DE⊥AC，CD=BE，
∴△ADC为等腰三角形，∠ACD=∠DAC，
∵∠ACD=15°，
∴∠ABE=∠ADG=90°−∠ACD=90°−15°=75°．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式2】（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可证△BEC≌△DFAAAS，可得BE=DF，根据一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形即可求解；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AG的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC和△DFA中，
∠BEC=∠DFA∠ACB=∠CADBC=AD，
∴△BEC≌△DFAAAS，
∴BE=DF，
又BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，

在Rt△AGC中，AC=8，∠ACB=30°，
∴AG=4，
∵BC=6，
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AG=4×6=24．
【变式3】（2023下·吉林·八年级校考期末）如图是某数学教材中的部分内容．
(1)请根据教材中的分析和图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
(2)如图②，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，连接AF，CE．求证：四边形AFCE是平行四边形；
(3)如图②，若EF⊥AC，△ABC的周长是23，△ABF的周长是15，且AB比AF的长多1，AF比BF的长多1，则四边形AFCE的面积是________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)24
【分析】（1）证明△DAO≌△BCO即可求得答案．
（2）证明△EAO≌△FCO即可求得答案．
（3）根据△ABC的周长和△ABF的周长可求得AC的长度，根据△ABF的周长及其三边的关系，可求得AF的长度，进而可求得EF的长度，根据S菱形AFCE=12AC·EF即可求得答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO．
在△DAO和△BCO中
∠DAO=∠BCOAD=BC∠ADO=∠CBO
∴△DAO≌△BCO．
∴OD=OB，OA=OC．
∴平行四边形的对角线互相平分．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CF．
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
在△EAO和△FCO中
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AEO=∠CFO
∴△EAO≌△FCO．
∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（3）∵EF⊥AC，四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AF=CF．
根据题意可知△ABC的周长C△ABC=AB+BC+AC=23，△ABF的周长C△ABF=AB+BF+AF=15，BC=BF+CF，
∴C△ABC−C△ABF=AB+BC+AC−AB−BF−AF=BF+CF+AC−BF−AF=AC=8．
∴AO=4．
∵AB=AF+1，BF=AF−1，C△ABF=AB+BF+AF=15，
∴C△ABF=3AF=15．
∴AF=5．
∴OF=AF2−AO2=3．
∴EF=6．
∴S菱形AFCE=12AC·EF=12×8×6=24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，牢记平行四边形的性质、全等三角形的判定方法及性质、菱形的判定方法及性质是解题的关键．
考点4：三角形中位线
典例4：（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，
下列结论：
①EF∥AB；
②∠BAF=∠CAF；
③S四边形ADFE=12AF⋅DE；
④∠BDF+∠FEC=2∠BAC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据中位线的性质可判断①，根据三线合一可判断②，根据折叠的性质可得到DE垂直平分AF，进而可判断③，根据三角形的外角的性质，即可判断④．
【详解】①∵点F是BC边的中点，
∴要使EF∥AB，则需EF是△ABC的中位线，根据折叠得AE=EF，显然本选项不一定成立；
②要使∠BAF=∠CAF，则需AD=AE，显然本选项不一定成立；
③根据折叠得到DE垂直平分AF，则S四边形ADFE=12AF⋅DE，故本选项正确；
④根据三角形的外角的性质，得∠BDF=∠DAF+∠AFD，∠CEF=∠EAF+∠AFE，又∠BAC=∠DFE，则∠BDF+∠FEC=2∠BAC，故本选项成立．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知AD是△ABC的中线，E是线段AD上一点，且AE:AD=1:3，BE的延长线交AC于点，则AFAC的值为（ ）

A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取BF的中点H，连接DH，则DH是△BCF的中位线，可得DH=12CF，DH∥CF，再证明△AEF∽△DEH得到AFDH=AEDE=13，则AF=13DH=16CF，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，取BF的中点H，连接DH，
∵AD是△ABC的中线，即点D是BC的中点，
∴DH是△BCF的中位线，
∴DH=12CF，DH∥CF，
∴∠EAF=∠EDH，∠EFA=∠EHD，
∴△AEF∽△DEH，
∴AFDH=AEDE=13，
∴AF=13DH=16CF，
∴AF:CF=1:6．
故选D．

【变式2】（2023下·全国·八年级期末）如图所示，已知△ABC的面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，⋯，依此类推，第2013个三角形的面积为（ ）
A．12011B．12012C．142011D．142012
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积=14S△ABC=14，同理第三个三角形的面积=14S△DEF=142，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图：过点A作AG⊥DE于G，交BC于H，则AG=GH，
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，DF=12AC，EF=12AB，GH=12AH，
∵S△ABC=12BC⋅AH，S△DEF=12DE⋅GH，
∴S△DEF=14S△ABC=14，
同理：第三个三角形的面积==14S△DEF=142，
第四个三角形的面积=14第三个三角形面积=143，
……，
∴第2013个三角形的面积为142012，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键．
【变式3】（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图、在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2AB，DE平分∠ADC，对角线AC、BD相交下点O，连接OE，下列结论：①∠ADB=30°；②AB=2OE；③DE=AB；④S平行四边形ABCD=AB⋅BD．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出∠BCD=180°−∠ABC=60°，AB=CD，∠ADC=120°，BO=OD，根据角平分线的定义得出∠EDC=∠ADE=60°，得出△EDC是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出OE=12DC=12AB，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠ABC=120°，
∴∠BCD=180°−∠ABC=60°，AB=CD，∠ADC=120°，BO=OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD=CE,∠EDC=60°，
∵BC=2AB，
∴BC=2CD=2CE，
∴E是BC的中点，
∴BE=CE，
又∵DE=EC，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=12∠DEC=30°，
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=90°，
∴∠ADB=30°；故①正确，
∵BE=EC,BO=DO，
∴OE=12DC=12AB，即AB=2OE，故②正确；
∵DE=DC=AB，
∴DE=AB；故③正确，
∵OD=12BD,CD=12BC,BD≠BC，
∴OD≠CD，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅BD，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点5：多边形的内角和
典例5：（2023上·全国·八年级期末）在平面上给出七点A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=α，在图（b），（c）中，A，B，C，G四点固定，D，E，E变动，此时，令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=β，则下述结论中正确的是（ ）
A．α≥βB．α=β
C．α