专题09 特殊平行四边形（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）特殊平行四边形的性质与判定
（1）性质（具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等）
（2）判定
（二）中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
考点一遍过
考点1：矩形的判定与性质
典例1：（2023·山东聊城·统考三模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．则AD的长是（ ）
A．23B．4C．6D．43
【变式1】（2022下·河北沧州·八年级统考期中）如图所示，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG=6，CF=8，则AE的长是（ ）
A．14B．10C．8D．6
【变式2】（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=4，BD=8，则OE的长为（ ）

A．23B．25C．20D．10
【变式3】（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=6,AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（ ）

A．4.8B．5C．2.4D．3.6
【变式4】（2023上·浙江·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6， BC=46．

(1)求证：△EFG≌△EFD；
(2)求FD的长．
【变式5】（2023上·云南昆明·九年级云南省昆明市第二中学校考阶段练习）如图所示，在⊙O中，AB，AC为互相垂直的两条弦，AB=8cm，AC=6cm，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．且OD=3cm，OE=4cm．
(1)求⊙O的半径；
(2)求DE的长．
【变式6】（2023上·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE．连接AF，BF．

(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若∠DAB=60°，AF平分∠DAB，AD=4，求AB的长．
【变式7】（2023下·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=90°

(1)求证：∠BDC=∠ACD；
(2)若点E、F分别为线段AB、AO的中点，连接EF，EF=52，AB=8，求BC的长及四边形ABCD的面积．
考点2：菱形的判定与性质
典例2：（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在▱ABCD中，AB=BC，∠BCA=50°，对角线AC、BD交于点O，△ABE为直角三角形，F是斜边AB的中点，∠ABE=30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30°B．30.5°C．25°D．20°
【变式1】（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，四边形ABCD是菱形，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=BC，则∠C的度数为（ ）
A．105°B．100°C．115°D．120°
【变式2】（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，P是对角线AC上一点．若BC=CD=2,∠DCB=60°，则PB+PE的最小值是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式3】（2022下·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG=12AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式4】（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF=AB，连接BF交AE于点O，连接EF．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若BF=8，AB=5，求AE的长．
【变式5】（2023下·四川德阳·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E．
(1)连接DE，求证：四边形ABED为菱形；
(2)若BC=8，CD=4，求AE的长．
【变式6】（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)当BC=2AB时，菱形AFCE的面积与矩形ABCD的面积比值为______．
【变式7】（2023上·贵州毕节·九年级校考期中）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AC=8，EF=6，求BF的长．
考点3：正方形的判定与性质
典例3：（2022下·重庆南川·八年级统考期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC.则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③OD=12BF，④∠CHF=45°.正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=9cm．现将其沿AE对折，使得点B在边AD上的点F处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm
【变式2】（2023上·甘肃白银·九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE=∠DCE；②∠AHB=∠EHD；③S△BHE=S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）

A．①③B．①②③④C．①②③D．①③
【变式3】（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②DE=2BC，③S△CFD=S△BEF，正确的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式4】（2024上·内蒙古乌海·九年级统考期末）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE；
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BCBC>AD，∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的长．
【变式5】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，点F为正方形ABCD内一点，连接AF，DF，∠AFD=90°，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°至△ABE，延长DF交BE于点H．

(1)判断四边形AEHF的形状，并说明理由．
(2)已知AD=13，DH=17，求BH的长．
【变式6】（2023上·江西九江·九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)若BE=DG=2，求OE的长．
【变式7】（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）如图四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2,CE=2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
考点4：特殊平行四边形——折叠
典例4：（2023上·河南郑州·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处．若OA=8,CF=4，则点E的坐标是（ ）
A．(−8,3)B．(−8,4)C．(−9,3)D．(−10,3)
【变式1】（2023上·陕西西安·七年级统考期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）

A．103B．3C．5D．83
【变式2】（2023上·海南海口·八年级校考期中）如图，在边长为8的正方形纸片ABCD中，E是边BC上的一点，BE=6，连接AE，将正方形纸片折叠，使点D落在线段AE上的点G处，折痕为AF，则DF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开铺平后在CD上找一点G，将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记为点C′，则FC′的长为（ ）

A．5.5分米B．32+1分米
C．33分米D．23+1分米
【变式4】（2024下·浙江·九年级专题练习）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若AB=6，BC=10，求EF的长．
【变式5】（2023上·宁夏吴忠·八年级校考阶段练习）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，重叠部分为△EBD．
(1)求证：△EBD是等腰三角形；
(2)若AB=4，BE=5，求△EBD的面积．
【变式6】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE，延长EF交边CD于点P．
(1)求证：DP=FP；
(2)若AB=6，求CP的长．
【变式7】（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，F为CD的中点，连接BF，将△BCF沿BF对折得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q

(1)求证：△BQF是等腰三角形；
(2)求BFQA的值；
考点5：特殊平行四边形——平移
典例5：（2024上·广东河源·九年级统考期末）如图，点M的坐标为(3,4)，将OM沿x轴正方向平移，使点M的对应点M′落在直线y=12x上，点O的对应点为O′．
(1)求点M′的坐标；
(2)连接MM′，四边形MOO′M′是什么特殊四边形？说明理由．
【变式1】（2022上·山西运城·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BC，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若BF=8，DF=4，求AB的长．
【变式2】（2023上·山西运城·九年级统考期中）如图①，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到如图②的△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为4cm2，
(1)直接写出阴影部分是什么特殊四边形；
(2)求△ABC移动的距离AA′．
【变式3】（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

(1)判断四边形AEFB的形状并求它的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BEC=15°，求AC的长．
考点6：特殊平行四边形——旋转
典例6：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
(1)求n的值；
(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
【变式1】（2023上·江西新余·九年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．

(1)旋转中心是 点，旋转角度是 度；
(2)若正方形边长为6，DE=2，求EF的长．
【变式2】（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
如图1，正方形ABCD中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以AB为斜边构造直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C），延长AE交CE′于点F，连接DE．
【解决问题】
请根据图1完成下列问题：
（1）若∠DAE=59°，则∠CBE′= 度；
（2）试判断四边形BE′FE的形状，并给予证明；
【拓展探究】
（3）如图2，若DA=DE，请写出线段CF与FE′的数量关系，并说明理由．
【变式3】（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）在矩形ABCD和矩形DEFG中，AD=2DE，AB=2DG，AD=DG，将矩形DEFC绕点D旋转，直线AE、CG交于点P．
(1)求AECG的值；
(2)证明：AE⊥CG．
考点7：特殊平行四边形——动点
典例7：（2022上·山西运城·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=30cm，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
(1)四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【变式1】（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t=__________时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=__________时，四边形AQCP是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点B′恰好落在PQ边上．
【变式2】（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)AP=______cm，PD=______cm，BQ=______cm，（分别用含有t的式子表示）；
(2)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
(3)当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
(4)当t为何值时，四边形PDQB为平行四边形？
【变式3】（2023下·广东揭阳·八年级统考期末）已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．

(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
考点8：中点四边形的证明
典例8：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．

(1)请判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
(2)四边形ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形，请说明理由．
(3)四边形ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务，
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________．
(2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，满足下列要求：
①四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH的顶点都在小正方形网格的格点的上；

②四边形EFGH是矩形，不是正方形．
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC、BD长度的关系，并证明你的结论．

【变式2】（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ；
(2)请证明你的结论．
【变式3】（2022下·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
矩
形
（1）四个角都是直角
（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.
菱
形
（1）四边相等
（2）对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角
（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
正
方
形
(1)四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB
矩
形
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
菱
形
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
正
方
形
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E、F、G，H分别是边AB、BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F、G、H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnn， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P、Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N
∵H、G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG=12AC．（依据1）
∴DNNM=DGGC，∵DG=GC，∴DN=NM=12DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，（依据2）．
∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM，
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S平行四边形HPQG=12S△ADC．同理，…