专题01 平移与轴对称（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．16cmB．22cmC．20cmD．24cm
【变式1】（2023下·广东潮州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【变式2】（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，将△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为7，AB=13，DO=6，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．70B．48C．84D．96
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）

A．12cmB．2+24cmC．14cm或34cmD．2±22cm
考点2：坐标系中的平移
典例2：（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A−1,0先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．−2,2B．−2,−2C．−4,2D．−4,−2
【变式1】（2023上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点M（M为AC、BD的中点），顶点A、B、C的坐标分别为1,3、1,1、3,1，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（）
A．2023,2B．2024,−2C．2025,2D．2025,−2
【变式2】（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，第四象限正方形ABCD，且Aa,b+3，Ca+2,b，将正方形ABCD平移，使A、C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的对应点的坐标是（ ）

A．−2,0或0,−3B．2,0或0,−3
C．2,0或0,3D．−2,0或(0,3)
【变式3】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）如图，将线段AB平移后得到线段CD，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为A(3,a)，B(2,2)，C(b,3)，D(8,6)，则a+b的值为（ ）

A．8B．9C．12D．11
考点3：平移的综合
典例3：（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为ax+y,x+ay，则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P(1,4)的“2阶华益点”为点Q(2×1+4,1+2×4)，即点2的坐标为(6,9)．
(1)若点P的坐标为(−1,5)，求它的“3阶华益点”的坐标；
(2)若点Pc+1,2c−1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“−3阶华益点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
(3)已知A(2,0)、B(0,2)，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点P(x,y)，它的“m阶华益点（m为正整数）”Q使得四边形AOBQ的面积为6？如果存在，请求出m的值和P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A−2,4，B−4,−1，C1,0，若将三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是a,2，点B的对应点B1的坐标是−1,b．

(1)直接写出a，b的值及点C1的坐标，画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)若点D在x轴上，且三角形ACD的面积是三角形A1B1C1面积的2倍，求点D的坐标．
【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿AB的方向平移得到△DEF，连接CD,FB,CF．

(1)当点D移至什么位里时，四边形CDBF是菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，四边形CDBF能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给△ABC添加一个条件，使四边形CDBF为正方形，并写出推理过程．
【变式3】（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点A，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)请建立合适的平面直角坐标系，使A，B两点的坐标分别是A−1,−2，B3,0；
(2)在（1）的条件下，平移线段AB到CD，使A点的对应点为格点C0,1，B点的对应点为D点．
①请画出线段CD，并写出点D坐标______；
②连接AC，AD，格点G1,0在AD上．请在线段CD上找点M，使得GM∥AC；
③请在给定的网格内找格点H，使三角形AGH与ACG的面积相等，则满足条件的点H有______个．（点C除外）
考点4：轴对称图形的识别
典例4：（2023上·河南安阳·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·湖南·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：（2023上·河北沧州·八年级校考期中）如图，△ABC和△AB′C′关于直线1对称，下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1】（2019下·山西太原·七年级统考期末）如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′，分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAC=∠B′AC′B．CC′∥BB′
C．BD=B′D′D．AD=DD′
【变式2】（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果AD//BC，则结论①AB//CD；②AB=CD；③AB⊥BC；④AO=OC中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3】（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）
A．126°B．128°C．130°D．132°
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：（2024上·河北石家庄·八年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是a,b，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（ ）
A．a,−bB．−a,−bC．−a,bD．a,b
【变式1】（2024上·甘肃张掖·八年级校考期末）若点P1,3关于y轴的对称点在一次函数y=3k+2x−1的图象上，则k的值为（）
A．23B．−23C．2D．−2
【变式2】（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A−2,1，B3,4，连接OA、OB、AB，P是y轴上的一个动点，当PB−PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．0,−5B．1,0C．0,2.2D．0,−53
【变式3】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A2,4与点Bm,n关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．6B．−6C．2D．−2
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：（2024上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A0,1，B2,0，C4,3．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
(2)△ABC的面积是______；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【变式1】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1，1，B4，2，C3,4
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
(2)在x轴上存在一点P，使点P到A、B两点的距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【变式2】（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A−1,5，B−1,0，C−4,3．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）
(2)直接写出A1，B1，C1三点的坐标：
A1 (_____，_____)，B1 (_____，_____)，C1 (_____，_____)；
(3)△ABC的面积=________．
【变式3】（2024上·湖北鄂州·八年级统考期末）在如图所示的6×6的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上．
(1)探究一：如图1，作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(2)探究二：如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点△ABC边AC上的高BE．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
考点8：利用轴对称求最值
典例8：（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形ABCD内部的动点，AB=4，BC=8，△PBC的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和PB＋PC的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式1】（2023上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=9，BD是△ABC的角平分线，点P、点N分别是线段BD和边AC上的动点，点M在边BC上，且BM=2，则PM+PN的最小值是（ ）
A．3B．23C．3D．3.5
【变式2】（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°,DE⊥BC于点E,P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．3+1B．27+2C．23+1D．27+1
【变式3】（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．1.2B．2.4C．2D．2.5
考点9：轴对称的综合问题
典例9：（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC，AB=8，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=5，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上的一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的直最小时，求BF的值？
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A,B,C的对称点分别是A1,B1,C1；
(2)在y轴上找点D，使得AD+BD的值最小，并直接写出点D的坐标；
(3)直接写出△ABC的面积．
【变式2】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点P在边AB上运动(不与点A、点B重合)，点B关于射线CP的对称点为点D，直线AD与射线CP交于点F．

(1)如图1，若∠BCP=20°，则∠ACD=___________，∠AFC=___________；
(2)如图2，若AF=3，DF=2，求边BC的长；
(3)在点P的运动过程中，设线段AF=m，线段DF=n，直接写出线段CF的长．(用含m，n的代数式来表示)
【变式3】（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，作点A关于直线CH的对称点D，连接AD，BD，CD，其中BD交直线CH于点E，连接AE．设过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH=α45°