专题03 位似（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（ ）
A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似
C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级校联考阶段练习）如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝13AO，OE＝13BO，OF＝13CO，得△DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．△DEF与△ABC是位似三角形B．△OAC与△ODF是位似三角形
C．△DEF与△ABC周长的比是1：3D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【变式3】（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．对称C．位似D．旋转
考点2：判断位似中心
典例2：（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式1】（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点PB．12、点PC．2、点OD．12、点O
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心为（ ）

A．点MB．点NC．点QD．点P
【变式3】（2023上·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．G点B．F点C．E点D．D点
考点3：求位似图形的位似比
典例3：（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则AO:AA′的值为（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【变式1】（2024上·重庆万州·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2:3．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是（）

A．12B．16C．18D．20
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OC:CF=1:2．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式3】（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是△ABO和△DCO的位似中心，AE平分∠OAB交OB于点E，DF平分∠ODC交OC于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．5AE=2DFB．CD=2ABC．OF=3OED．∠AEO=∠DFC
考点4：求位似图形的坐标
典例4：（2024上·山西晋城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2),F(−2,−2)，若△OEF与△OE'F'关于点O位似，S△OEF:S△OE′F′=4:1，点F的对应点F'的坐标为（ ）
A．(1,1)B．(4,4)
C．(4,4)或(−4,−4)D．(1,1)或(−1,−1)
【变式1】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若B−4,4，F2,1则位似中心的坐标为（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【变式2】（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−2,4、B−6,−2，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．−1,2B．−3,−1C．−3,−1或3,1D．−1,2或1,−2
【变式3】（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是−1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A．−12bB．−12b+1C．−12b−1D．−12b+3
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，若A2,a，A′4,b，则△ABC与△A′B′C′的相似比是（ ）

A．12B．13C．14D．23
【变式1】（2023·云南昭通·统考二模）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了△ABC和△A1B1C1，其中△ABC三个顶点坐标分别为A0，1，B2，2，C3，1，若△ABC和△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，则ABA1B1=（ ）

A．14B．13C．12D．32
【变式2】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为1，2，C点坐标为2，4，AB=5，则线段CD长为（ ）
A．2B．4C．25D．5
【变式3】（2023下·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A(6，4)，B(2，3)，D(3，2)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A．8，4B．1，0.8C．1.5，2D．1，1.5
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A1,0，D3,0，且△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若△ABC的面积为0.6，则△DEF的面积为（）
A．1.2B．2.4C．5.4D．6
【变式1】（2023上·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为−4,2，点E的坐标为−1,1，则这两个正方形的面积之比为（ ）

A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【变式2】（2022上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是3:1
B．对应点到位似中心的距离比是2:1
C．大鱼与小鱼的面积比是4:1
D．若小鱼上一点的坐标是a，b，则在大鱼上的对应点的坐标是（−2b，−2a）
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，以点C−1,0为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C，若点B的横坐标是−2，点B的对应点B′的横坐标是2，则△ABC与△A′B′C的周长之比为（ ）．
A．1:2B．1:3C．2:3D．2:1
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：（2024上·山西朔州·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______．
(2)以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2:1，请在网格内画出△A1B1C1．
(3)求出△A1B1C1的面积．
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系xy，△ABC的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC向右平移6个单位长度后的图形△A1B1C1，点A1坐标是______；
(2)画出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C；
(3)画出△ABC以A为位似中心按1:2放大后的图形△AB3C3．
【变式2】（2023下·安徽·九年级校联考学业考试）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1，−2，B2，−1，C4，−3．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
(3)设点Pa，b为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是___________．
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A,B,C的对应点依次为A′,B′,C′，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
(2)写出点P的坐标为____________，△ABC与△A′B′C′的面积比为____________，S△ABC=____________；
(3)请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：
①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为12；
②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：（2023上·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为1,1，点F的坐标为4,2，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A．−2,0B．2,0C．−4,2D．4,2
【变式1】（2022·河北唐山·统考一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点G0，1，则它们位似中心的坐标是（ ）
A．(−2，0)B．(−1，0)C．(0，0)D．(−3，0)
【变式2】（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，2.5）C．（0，3）D．（0，4）
【变式3】（2024上·福建宁德·九年级统考期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．1,−1B．−1,−1C．0,0D．0,−1