专题02 概率（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么事件A发生的概率P(A)＝.
③事件的类型及其概率
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
考点一遍过
考点1：事件的分类
典例1：（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为180°
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，故选项是随机事件，不符合题意；
B、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三条线段可以组成一个三角形，故选项是随机事件，不符合题意；
C、一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，不可能摸出一个白球，故选项是不可能事件，不符合题意；
D、任何一个三角形的内角和都为180°，故选项是必然事件，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．煮熟的种子发芽D．周末逛公园遇到同学
【答案】D
【分析】本题主要考查随机事件的定义，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．根据随机事件的定义解题即可．
【详解】解：水从高处往低处流动，一定会发生，是必然事件，故选项A不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是180°，一定会发生，是必然事件，故选项B不符合题意；
煮熟的种子发芽，一定不会发生，是不可能事件，故选项C不符合题意；
周末逛公园遇到同学，可能发生可能不发生，是随机事件，故选项D符合题意．
故选：D．
【变式2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上
B．两个无理数相加，结果仍是无理数
C．任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页
D．两个负数相乘，结果必为正数
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可解答．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A错误；
B、两个无理数相加，结果仍是无理数是随机事件，故B错误；
C、任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页是随机事件，故C错误；
D、两个负数相乘，结果必为正数是必然事件，故D正确．
故选：D．
【变式3】（2022上·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第二中学校考期中）有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【答案】A
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟记定义是解题关键．根据随机事件的定义即可得．
【详解】解：某射击运动员射击一次，命中靶心，有可能发生也可能不发生，所以事件A是随机事件，
掷一枚硬币，正面朝上，有可能发生也可能不发生，所以事件B是随机事件，
综上，事件A和事件B都是随机事件，
故选：A．
考点2：可能性大小
典例2：（2023上·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．购买1张彩票，中奖B．画一个三角形，其内角和是180°
C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件，随机事件，根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是解题的关键．
【详解】解：A、购买1张彩票会中奖是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，发生可能性是1，此选项符合题意；
C、随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
D、射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ）
A．面朝上的点数是2B．面朝上的点数是偶数
C．面朝上的点数小于2D．面朝上的点数大于2
【答案】D
【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键．
【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是16；
B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是12；
C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是16；
D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是46=23；
∵23>12>16，
∴四个选项中可能性最大的是D，
故选：D．
【变式2】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校考阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【答案】D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得．
【详解】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；
事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件；
故选：D．
【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式3】（2023·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论．
【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数
由各选项可知，只有D选项符合
故选D．
【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键．
考点3：等可能事件
典例3：（2023·湖南长沙·统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17。根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和
【答案】A
【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：11,4,16,7,17是由1∼10中的两个不相同的数字相加所得的数，
∴4只能是1与3的和，
即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，
∵7=1+6=2+5=3+4，
∴丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，
∵11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，
∴甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，
∵16=6+10=7+9，
∴丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，
∴戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．
【变式1】（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）彤彤抛五次硬币，3次正面朝上，2次反面朝上，她抛第6次时，下面说法正确的是哪一个？（ ）
A．一定正面朝上B．一定反面朝上
C．不可能正面朝上D．有可能正面朝上也有可能反面朝上
【答案】D
【分析】根据等可能事件的意义解答即可．
【详解】解：∵抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同，
∴每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，
故选：D．
【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键．
【变式2】（2023上·陕西·九年级校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是23
B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是12
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
【答案】D
【分析】根据各个选项的说法可以判断是否正确，进而可以解答．
【详解】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意；
B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意；
C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意；
D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，属于基础题，解决本题的关键是掌握概率的意义．
【变式3】（2023下·浙江杭州·九年级期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（ ）
A．12B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解．
【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口，
∴出第一道门有三种选择，
又∵第二道门有两个出口，
故出第二道门有D、E两种选择，
∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择，
分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE，
故选B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．
考点4：概率的理解
典例4：（2024上·云南玉溪·九年级统考期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为f，每次试验该事件的概率为P．下列说法错误的是（ ）
A．P的值为0.5
B．随着试验次数的增加，f的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，f的值越大
【答案】D
【分析】本题考查频率与概率，掌握频率随着试验次数的变化而变化，概率是频率的稳定值，是一个常数，是解题的关键，根据频率与概率的关系，逐一判断即可．
【详解】解：A、P的值为0.5，选项正确，不符合题意；
B、随着试验次数的增加，f的值可能发生变化，选项正确，不符合题意；
C、当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定，选项正确，不符合题意；
D、试验次数越多，f的值越趋于稳定，选项错误，符合题意；
故选D．
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级统考期末）某个事件发生的概率是0.5，这意味着（ ）
A．在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C．在两次重复试验中该事件必有一次发生
D．每次试验中事件发生的可能性是50%
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，分析判断即可．
【详解】解：∵某个事件发生的概率是0.5，
∴根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是50%，
故选：D．
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）一个事件发生的概率不可能是（ ）
A．32B．1C．12D．0
【答案】A
【分析】本题考查了概率的意义，根据随机事件发生的概率在0和1之间，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，可得答案．
【详解】解：A、任何事件的概率不能大于1小于零，故A符合题意；
B、任何事件的概率不能大于1小于零，故B不符合题意；
C、任何事件的概率不能大于1小于零，故C不符合题意；
D、任何事件的概率不能大于1小于零，故D不符合题意；
故选：A．
【变式3】（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（ ）
A．0.45B．0.50C．0.55D．0.75
【答案】A
【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为450450+550=0.45，
故选：A．
考点5：列举法求概率
典例5：（2023·广东肇庆·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（ ）
A．40B．45C．50D．55
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，
若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，
故选：B．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期末）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）
A．56B．34C．23D．12
【答案】C
【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有456,465,546,564,654,645共6种可能，其中456,546,564,654是2的倍数，
∴摆出的三位数是2的倍数的概率是46=23，
故选：C．
【变式2】（2023上·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ）
A．16B．14C．12D．23
【答案】B
【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果，再找出恰好是白色上衣和白色裤子的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种，其中，恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种，
则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为P=14，
故选：B．
【变式3】（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）草莓种植户将今天的草莓按大小分拣成A、B、C三类，随机分放在同一直线上的三个摊点出售（三个摊点不能兼顾)，甲到第一个摊点观察后不买，再到第二个摊点观察，若第二个摊点草莓比第一个摊点大，就直接购买；若比第一个摊点小，就到第三个摊点购买，按这种方式，甲买到的草莓是A类的概率为 （ ）
A．12B．29C．13D．16
【答案】A
【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三类草莓排列情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：三类草莓排列情况共有A，B，C，A，C，B，B，C，A，B，A，C，C，A，B，C，B，A，
符合要求的有B，C，A，B，A，C，C，A，B，
所以买到的草莓是A类的概率为36=12．
故选：A．
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：（2024上·浙江宁波·九年级统考期末）“迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者．某中学准备派出3名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧．
(1)若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？
(2)若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画树状图或列表法分析与表示．
【答案】(1)35
(2)16
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到小明和小慧的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，选到男生的概率是35；
（2）将另外2名男生分别记为A,B，将另外1名女生记为C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选到小明和小慧的结果有1种，
∴恰好选到小明和小慧的概率为16．
【变式1】（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）随着2022年12月29日“射盐高速”的通车，加快我县融入长三角、接轨大上海的步伐，我县居民出行更加便捷．元旦假期李叔叔驾车出去游玩，途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道B和ETC通道C三条通道；盐城东收费站有人工通道D、混合通道E、混合通道F和ETC通道G四条通道．（不考虑其他因素）．
(1)途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是“ETC通道C”的概率为_________；
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选ETC通道的概率．
【答案】(1)13
(2)P=112
【分析】本题主要考查运用画树状图或列表法求概率以及概率公式：
（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）画树状图，列举出所有等可能的结果，以及李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选ETC通道的结果数，再运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵海都南路射阳收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道B和ETC通道C三条通道，
∴途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是“ETC通道C”的概率为13，
故答案为：13
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选ETC通道有1种，
∴李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选ETC通道的概率为112
【变式2】（2024上·云南保山·九年级统考期末）某校计划举办“学习二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”、“绿色低碳”四个主题，将其制成四张背面看上去无差别的卡片（如图所示），并把卡片背面朝上洗匀．
(1)若小丽随机抽取一张卡片，则她选中的主题是“绿色低碳”的概率是_____；
(2)若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主题，请用列表或画树状图的方法求出他们恰好抽取不同主题的概率．（用对应的字母表示）
【答案】(1)14
(2)小英和小亮恰好抽取到不同主题的概率为34．
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好抽取不同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小丽随机抽取一张卡片，她选中的主题是“绿色低碳”的概率是14．
故答案为：14；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽取不同主题的结果有：(B,A)，(C,A)，(D,A)，(A,B)，(C,B)，(D,B)，(A,C)，(B,C)，(D,C)，(A,D)，(B,D)，(C,D)，共12种，
∴他们恰好抽取不同主题的概率为1216=34．
【变式3】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案（卡片依次记为A，B，C），卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
【答案】19
【分析】本题考查的是用画树状图法或列表法求概率，画出树状图，共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意可画树状图如下：
共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，
∴两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率为19．
考点7：用频率估计概率
典例7：（2023下·河北秦皇岛·九年级统考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在35，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)0.5，0.5
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个
(3)10个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），则黑颜色的球有40−20=20（个）；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，依题意得，20+x40+x=35，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为0.5，
故答案为：0.5，0.5；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），
黑颜色的球有40−20=20（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，
依题意得，20+x40+x=35，
520+x=340+x，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入10个白球．
【变式1】（2023上·山东烟台·九年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；随机摸出一个球，摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(2)试估算，口袋中黑球的个数____，白球的个数____；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【答案】(1)0.75，0.75，0.25；
(2)1，3；
(3)58．
【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在0.75，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率．
（2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题．
（3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同得情况数再除以总得情况种数，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，摸到白球的频率逐渐接近：0.75，
则摸到白球的概率可看作：0.75，
∴摸到黑球的概率：1−0.75=0.25．
（2）解：由（1）可知摸到白球的概率为0.75摸到黑球的概率为0.25，而小球总数为4，
所以口袋中黑球的个数：4×0.25=1，口袋中白球的个数：4×0.75=3．
（3）解：画树状图，得：
∵共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
∴两次摸到的球的颜色正好相同的概率为1016=58．
【变式2】（2022上·全国·九年级专题练习）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到0.01），黄球有 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
【答案】(1)0.25，2
(2)13
【分析】本题考查了估算概率和列表法或树状图求概率等知识点，熟知求概率的方法和公式是解答本题的关键．
（1）根据用频率估计概率的方法即可得到摸出一个球恰好是白球的概率,再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数，由此得到答案；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表得到所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解，得到答案．
【详解】（1）解：从表中可看出，
随着摸球次数的增加，摸到白球的概率越来越接近0.25．
∴估计摸到白球的概率约为0.25．
∴口袋中乒乓球总数为：1÷0.25=4．
∴黄球的个数为4−1−1=2．
∴估计有2个黄色的乒乓球．
故答案为：0.25，2．
（2）解：记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表：

∴同时摸出2个球时，共有12种等可能的结果，而“一红一黄”有4种结果．
∴ P（一红一黄）=412=13．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的度数（结果精确到1°）；
(2)小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．
①直接写出红球的个数；
②直接写出两次摸球都获得饮料的概率．
【答案】(1)0.75，90°；
(2)① 3个；② 116．
【分析】（1）根据图表中的频率去估计概率及用360°×0.25即可；
（2）①利用概率公式，摸到白球的概率为0.25，摸到红球的概率为0.75即可求解；
②画树状图，然后利用概率公式求解；
本题考查了利用频率估计概率和列表法与树状图法求概率，解题的关键是灵活运用知识点的应用．
【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率为0.75，
饮料所在扇形的圆周角的度数360°×0.25=90°；
（2）①设红球的个数有x个，
由（1）得，铅笔的概率为0.75，
xx+1=0.75，解得：x=3，
经检验：x=3是分式方程的解，
∴红球的个数有3个；
②列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中两人都获得“饮料”的结果数为1，
∴两人都获得“饮料”的概率为116．
考点8：概率的应用
典例8：（2022下·七年级单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成10枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．

(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少?
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大?
【答案】(1)310
(2)小玲胜小军的概率是49
(3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可；
（2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率；
（3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：

共有10个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个，
所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是310；
（2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为49；
（3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是59；
②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是79；
③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜，
小玲胜小军的概率是49；
④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是19；
∵79>59>49>19，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键．
【变式1】（2022上·山西长治·九年级统考阶段练习）综合与实践
【问题再现】
(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为12，二等奖：指针落在白色区域的概率为13，一等奖：指针落在黄色区域的概率为16．
【拓展运用】
(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】(1)P（蓝色区域）=14，P（橙色区域）=34
(2)见解析
(3)29元
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）将转盘均分成6份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解；
（3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解．
【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，
P（蓝色区域）=90°360°=14，
P（橙色区域）=270°360°=34．
（2）解：根据题意，将转盘均分成6份，
则：红色占：6×12=3份；白色占：6×13=2份；黄色占：6×16=1份；
如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：
转动1次的平均数为100×110+50×210+30×310=29（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键．
【变式2】（2022·福建泉州·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量X都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量X的限制，并有如下表关系：
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】(1)15
(2)选择2条索道，理由见解析
【分析】（1）以过去10年游客流量不低于240万的比率作为今年的概率；
（2）计算出不同游客流量出现的概率，再分别计算两种方案下各种游客流量概率下的平均获利进行比较．
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为1+1=2（年），
占总年数的比率为210=15，
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为15；
（2）根据题意，
年游客客流量在160≤X