专题03 分式（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

这是一份专题03 分式（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题03分式知识串讲+9大考点全国通用原卷版docx、专题03分式知识串讲+9大考点全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形如eq \f(A,B)（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式eq \f(A,B)无意义的条件是B＝0．
②分式eq \f(A,B)有意义的条件是B≠0．
③分式eq \f(A,B)值为0的条件是A＝0且B≠0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
eq \f(A,B)＝eq \f(A·M,B·M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
②除法法则：
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：（22·23下·长春·期中）代数式1x，x2，2xyx+y，2x−y3中，属于分式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据分式的定义形如ABB≠0，分母B含有字母的式子，A，B都是整式，进行判断即可．
【详解】∵1x中分母含有字母是分式；
x2中分母不含有字母是整式；
2xyx+y中分母含有字母是分式；
2x−y3中分母不含有字母是整式；
∴一共2个分式，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键．
【变式1】（22·23上·怀化·阶段练习）在4y2y，y4，6x+y，x+y2x，2xyπ中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
【详解】解：6x+y，x+y2x，4y2y分母中含字母，是分式；
y4，2xyπ分母中不含字母，不是分式；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
【变式2】（20·21下·兰州·期中）在1x，x−y4，x3−y2，x+ym，2aa，x−1π中，是分式的有（ ）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】解：1x，x+ym，2aa的分母中都含有字母，都是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有π的式子是分式．
【变式3】（22·23下·巴中·期中）代数式−32x，x−y5，−x+y2，7y23x ，2a2b，−9π中，是分式的有（ ）个
A．1个B．2个C．3D．4个
【答案】B
【分析】分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．根据分式的宝岛即可完成．
【详解】解：代数式−32x，x−y5，−x+y2，7y23x，2a2b，−9π中，是分式的有7y23x，2a2b，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
考点2：分式有意义条件
典例2：（23·24上·海淀·期中）若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．−2C．0D．2
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x2−4x−2=0，
∴x2−4=0，
∴x=±2，
当x=2时，
∴x−2=0，
∴x≠2即x=−2．
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零，本题属于基础题型．
【变式1】（23·24上·成都·阶段练习）在函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥−2且x≠0B．x>−2且x≠0C．x>0D．x≤−2
【答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0和分式的分母不能等于0的条件且x+2≥0，然后再解不等式即可解答．
【详解】解：由题意得：x+2≥0，且x≠0，
所以，x≥−2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2】（23·24上·淄博·阶段练习）若分式x+3xx−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠3D．x≠0或x≠1
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：要使分式x+3xx−1有意义，
则xx−1≠0，即x≠0x−1≠0，
∴x≠0且x≠1，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【变式3】（22·23下·沈阳·期中）若分式x−1x+1无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠−1C．x=−1D．x>−1
【答案】C
【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程x+1=0，解方程即可．
【详解】∵分式x−1x+1无意义，
∴x+1=0，
解得：x=−1，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
考点3：分式的值
典例3：（22·23上·全国·单元测试）若1m+1n=2，则代数式5m−2mn+5n−m−n的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【答案】A
【分析】由1m+1n=2可得m+n=2mn，代入分式，化简即可．
【详解】解：由1m+1n=2可得m+n=2mn
将m+n=2mn代入5m−2mn+5n−m−n可得：
原式=5m−m+n+5n−m+n=4m+n−m+n=−4
故选：A
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．
【变式1】（23·24上·苏州·阶段练习）若a2=b3=c5，则a+b+ca=（ ）
A．103B．2C．5D．12
【答案】C
【分析】根据题意设设a=2k，b=3k，c=5k，代入a+b+ca即可求解．
【详解】解：∵ a2=b3=c5，
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
∴ a+b+ca=2k+3k+5k2k=10k2k=5，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，运用换元的思想是解题的关键．
【变式2】（22·23下·衡阳·期中）若分式a−3a2+1的值为正，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−1B．a≠0C．a>3D．a0可得a−3>0即可使分式a−3a2+1的值为正．
【详解】解：∵a2+1>0，
∴a−3>0时，分式a−3a2+1的值为正，
∴a>3，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正．
【变式3】（22·23下·常州·期中）对于非正整数x，使得2x−3x+1的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【详解】解：2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+1−5x+1=2−5x+1，
∵x为非正整数，分式的结果正整数，
∴x取值为−6，−2，0，
∴x的个数有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
考点4：分式的基本性质
典例4：（23·24上·德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．如a，b同号，则ab>0，ab>0B．如a，b异号，则ab0 成立，故此项正确；
B、当a，b异号，则abcC．c>b=aD．c>a>b
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算即可．
【详解】∵ a=−22=−4，
b=(2023−2022)0=1，
c=−1100−1=1−11001=1−1100=1×−100=−100
∴ b>a>c．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
【变式3】（22·23上·许昌·期末）计算π−20−2−1正确的结果是（ ）
A．12B．−12C．−2D．2
【答案】A
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：π−20−2−1
=1−12
=12，
故选：A．
【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
考点9：分式的运算——化简求值
典例9：（23·24上·常德·期中）先化简，再求值：x2+2xy+y2x2−1⋅x−1x2−y2其中x=2，y=1
【答案】x+yx+1x−y，1
【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式分子分母分解因式，再约分即可化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：原式=x+y2x+1x−1⋅x−1x+yx−y
=x+yx+1x−y
当x=2，y=1时，原式=2+12+12−1=1．
【变式1】（23·24上·厦门·期中）先化简，再求值：4x+2−1÷x2−4x+4x2+2x，其中x=2+2．
【答案】x2−x，−1−2
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：4x+2−1÷x2−4x+4x2+2x
=4x+2−x+2x+2÷x2−4x+4x2+2x
=2−xx+2÷x2−4x+4x2+2x
=2−xx+2⋅xx+2x−22
=x2−x
当x=2+2时，
原式=2+22−2+2
=−1−2
【点睛】此题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式2】（23·24上·重庆·期中）先化简，再求值：2a−2−6a2−2a÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．
【答案】2a2−3a，−43
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】2a−2−6a2−2a÷a2−6a+9a−2
=2aaa−2−6aa−2÷a−32a−2
=2a−3aa−2×a−2a−32
=2aa−3
=2a2−3a
∵2a2−6a+3=0
∴2a2−6a=−3
∴a2−3a=−32
∴原式=2a2−3a=2−32=−43．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】（23·24上·哈尔滨·期中）先化简，再求代数式(1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1的值，其中x=2sin60°+tan45°．
【答案】1x−1，33
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【详解】解： (1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1
=1x−1−x−3(x−1)2÷2x−1
=(x−1)−(x−3)(x−1)2÷2x−1
=2(x−1)2×x−12
=1x−1
当x=2sin60°+tan45°=2×32+1=3+1时，
原式=13+1−1=33．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【便是4】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简再求值：x−2x2+2x−x−1x2+4x+4÷x−4x+2，其中x2−3x−4=0
【答案】1xx+2，当x=−1原式=−1
【分析】先把所给分式化简，再求出方程的解，取使分式有意义的解代入化简的结果计算即可．
【详解】解：x−2x2+2x−x−1x2+4x+4÷x−4x+2
=x−2xx+2−x−1x+22×x+2x−4
=x−2x+2xx+22−xx−1xx+22×x+2x−4
=x2−4−x2+xxx+22×x+2x−4
=−4+xxx+22×x+2x−4
=1xx+2
∵x2−3x−4=0
∴x+1x−4=0
∴x+1=0或x−4=0
x1=−1，x2=4
∵x≠0,−2,4
∴x=−1
∴原式=1−1×−1+2=−1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式5】（23·24上·泰安·阶段练习）求值
(1)先化简，再求值：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1，其中x=3．
(2)化简求值：3x+1−x+1÷x2−4x+4x+1，其中x从0、2、−1中任意取一个数求值．
【答案】(1)1x−1，12
(2)−x+2x−2，当x=0时，原式=1．
【分析】（1）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可；
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）解：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1
=2x−1x+1x−1−2x−3x+1x−1⋅x+1
=1x+1x−1⋅x+1
=1x−1，
当x=3时，原式=13−1=12；
（2）解：3x+1−x+1÷x2−4x+4x+1
=3−x−1x+1x+1⋅x+1x−22
=3−x2−1x+1⋅x+1x−22
=−x+2x−2x+1⋅x+1x−22
=−x+2x−2，
∵从分式知：x+1≠0，x−2≠0，
∴x≠−1，x≠2，
取x=0，
当x=0时，原式=−0+20−2=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式6】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简，再求值：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1，其中x满足方程x2+x−5=0
【答案】−x2+x+2；−3
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，化简得到原式−x2+x+2，再利用满足方程x2+x−5=0得到x2+x=5，然后利用整体代入的方法计算原式的值．
【详解】解：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1
=3−xx−1−x−1x−1÷x−2x−12
=−x−2x+2x−1×x−12x−2
=−x−1x+2
=−x2+x+2；
∵ x2+x−5=0，
∴ x2+x=5，
将x2+x=5代入−x2+x+2，
∴原式=−x2+x+2=−5+2=−3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【变式7】（23·24上·石家庄·阶段练习）下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x+4x2−1−2x−1÷x+2x2−2x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x−1]÷x+2(x−1)2…………………………………………第一步
=[3x+4(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)]÷x+2(x−1)2………………………………第二步
=3x+4−2x+2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2…………………………………………………第三步
=x+6x+1×x−1x+2…………………………………………………………………………第四步
=x2+5x−6x2+3x+2…………………………………………………………………第五步
任务：
(1)填空：
①上面的化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
(2)请写出正确的化简过程．
(3)当x=2时，求该分式的值．
【答案】(1)①二，分式的基本性质；②三，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)x−1x+1
(3)13
【分析】（1）①根据变形的结果可得答案；由通分的依据是分式的基本性质可得答案；②第三步开始出现错误，去括号出现错误；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可；
（3）把x=2代入代简结果求值即可．
【详解】（1）①上面的化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：①二；分式的基本性质；②三；括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
（2）(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x−1]÷x+2(x−1)2
=[3x+4(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)]÷x+2(x−1)2
=3x+4−2x−2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2
=x+2x+1×x−1x+2
=x−1x+1．
（3）当x=2时，
原式=2−12+1
=13．
【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则．